Вектор как направленный отрезок.

Вектор – это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А – начало вектора, а точка В – его конец. У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора – это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается

Равенство векторов.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули.

, т.е, если они совмещаются параллельным переносом (существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно).

Операция умножения вектора на число и её свойства.

Произведением вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа, а направление совпадает с направлением умножаемого вектора, если число больше нуля, и противоположно ему, если число меньше нуля. (Если совсем просто, то это вектор в n раз длиннее данного, где n - данное число). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор

Свойства операций умножения вектора на число:

1) Сочетательное свойство умножения

2) Первое распределительное свойство

3) Второе распределительное свойство .

4)  Нейтральным числом по умножению является единица, то есть .

При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

5)

6)

Здесь и - произвольные векторы, а  и  - произвольные числа.

Коллинеарные векторы.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Выражение коллинеарных векторов друг через друга.

Пусть ,и пусть модуль вектора в раз превышает модуль вектора , т. е. .          

Тогда  .Таким образом, в векторе укладывается векторов .

Пусть теперь и . Тогда . 

Сумма векторов и её свойства.

Суммой векторов  с координатами a₁, a₂ и  с координатами b₁, b₂ называется такой третий вектор  с координатами а1 + b1, a2 + b2. Начало этого вектора совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора  при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора  (правило треугольников)

А при совмещенных началах этих трех векторов, векторы  и  служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю . (правило параллелограмма)

Свойства суммы векторов:

1°  - коммутативность

2° - ассоциативность

3°  

4°  

Противоположный вектор.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

Разность векторов.

Разностью векторов и с координатами  и  называется вектор  с координатами , т.е. это такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор.

2. Экстремумы: определение, необходимое условие, достаточные условия.

Экстре́мумы — максимальные или минимальные значения функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума

Точка  называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство: .

Точка  называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка    называется точкой строгого локального максимума функции   , если для всех  из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Точка  называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех  из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

необходимое условие

Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю , либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум

Достаточные условия

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. функция непрерывна в окрестности точки ;

2. или не существует;

3. производная при переходе через точку меняет свой знак.

Тогда в точке функция имеет экстремум,

 причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс;

максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке  нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:

1. найти производную ;

2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует;

3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;

4. найти значение функции в экстремальных точках.

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции выполнены следующие условия:

1. она непрерывна в окрестности точки ;

2. первая производная в точке ;

3. в точке .

Тогда в точке достигается экстремум, причем, если   , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке  функция достигает максимум.

Билет 4

1. Линейная комбинация векторов.

Линейной комбинацией векторов называется вектор , получаемый из векторов этой системы путем умножения их на коэффициенты линейной комбинации  и сложения, т. е.

Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Любой вектор можно разложить, и при том единственным образом, по двум данным неколлинеарным векторам. Т. е. если , где и – данные векторы, x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен на векторы и , причем x и y – коэффициенты разложения, определяемые единственным образом.

Компланарные векторы.

 Компланарные векторы — это векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Вектор разложен по трём некомпланарным векторам , и , если его можно представить в виде , где ,  и  — коэффициенты разложения. Числа x, y, z называются координатами вектора  в данном базисе. В этом случае пишут