Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вектор как направленный отрезок.
Вектор – это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец: Здесь точка А – начало вектора, а точка В – его конец. У вектора есть два параметра: его длина и направление. Длина вектора – это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается Равенство векторов. Два вектора называются равными, если они сонаправленные и имеют равные модули. , т.е, если они совмещаются параллельным переносом (существует такой параллельный перенос, при котором начало и конец одного вектора совмещается с началом и концом другого вектора соответственно). Операция умножения вектора на число и её свойства. Произведением вектора на число называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора на модуль числа, а направление совпадает с направлением умножаемого вектора, если число больше нуля, и противоположно ему, если число меньше нуля. (Если совсем просто, то это вектор в n раз длиннее данного, где n - данное число). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор Свойства операций умножения вектора на число: 1) Сочетательное свойство умножения 2) Первое распределительное свойство 3) Второе распределительное свойство . 4) Нейтральным числом по умножению является единица, то есть . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований. 5) 6) Здесь и - произвольные векторы, а и - произвольные числа. Коллинеарные векторы. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Выражение коллинеарных векторов друг через друга. Пусть ,и пусть модуль вектора в раз превышает модуль вектора , т. е. . Тогда .Таким образом, в векторе укладывается векторов . Пусть теперь и . Тогда . Сумма векторов и её свойства. Суммой векторов с координатами a1, a2 и с координатами b1, b2 называется такой третий вектор с координатами а1 + b1, a2 + b2. Начало этого вектора совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольников) А при совмещенных началах этих трех векторов, векторы и служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю . (правило параллелограмма) Свойства суммы векторов: 1° - коммутативность 2° - ассоциативность 3° 4° Противоположный вектор. Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны. Разность векторов. Разностью векторов и с координатами и называется вектор с координатами , т.е. это такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор. 2. Экстремумы: определение, необходимое условие, достаточные условия. Экстре́мумы — максимальные или минимальные значения функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума Точка называется точкой локального максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство: . Точка называется точкой локального минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех из этой окрестности . Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами. Точка называется точкой строгого локального максимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство . Точка называется точкой строгого локального минимума функции , если для всех из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство . Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка. необходимое условие Если функция имеет экстремум в точке , то ее производная либо равна нулю , либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю: , называются стационарными точками функции. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки - это либо стационарные точки (решения уравнения ), либо это точки, в которых производная не существует. Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум Достаточные условия (Первое достаточное условие экстремума) Пусть для функции выполнены следующие условия: 1. функция непрерывна в окрестности точки ; 2. или не существует; 3. производная при переходе через точку меняет свой знак. Тогда в точке функция имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку производная меняет свой знак с плюса на минус. Если производная при переходе через точку не меняет знак, то экстремума в точке нет. Таким образом, для того чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо: 1. найти производную ; 2. найти критические точки, то есть такие значения , в которых или не существует; 3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки; 4. найти значение функции в экстремальных точках. (Второе достаточное условие экстремума) Пусть для функции выполнены следующие условия: 1. она непрерывна в окрестности точки ; 2. первая производная в точке ; 3. в точке . Тогда в точке достигается экстремум, причем, если , то в точке функция имеет минимум; если , то в точке функция достигает максимум. Билет 4 1. Линейная комбинация векторов. Линейной комбинацией векторов называется вектор , получаемый из векторов этой системы путем умножения их на коэффициенты линейной комбинации и сложения, т. е. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам. Любой вектор можно разложить, и при том единственным образом, по двум данным неколлинеарным векторам. Т. е. если , где и – данные векторы, x и y – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен на векторы и , причем x и y – коэффициенты разложения, определяемые единственным образом.
Компланарные векторы. Компланарные векторы — это векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. Вектор разложен по трём некомпланарным векторам , и , если его можно представить в виде , где , и — коэффициенты разложения. Числа x, y, z называются координатами вектора в данном базисе. В этом случае пишут
|
|||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 326. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |