Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вычисление определителя 3-го порядка разложением по элементам строки или столбца.
Определителем третьего порядка называется следующее выражение: Вычислить определитель 3-го порядка можно разложением по элементам строки: ; и по элементам столбца: . В этих формулах - алгебраические дополнения элементов матрицы , где — миноры элементов матрицы . Правило Саррюса Дописывание двух первых строк или столбцов.
В этом случае считаем так: Пример: Вычислить определитель двумя способами: с помощью разложения по первой строке и по правилу треугольника: Решение: 1) с помощью разложения по первой строке: 2) по правилу треугольника:
Ответ: -21 Решение системы линейных уравнений 3-го порядка по правилу Крамера. Рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными
Используя определители 3-го порядка, решение такой системы можно записать по правилу Крамера в следующем виде: если D¹0. Здесь Вывод формул. Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B, где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x1, x2, x3 матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество . Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы: 2. Определитель квадратной матрицы , равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:
Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x1. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А11, обе части второго уравнения – на А2 1, обе части третьего уравнения – на А 31 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А): Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x1, x2, x3 и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений: Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем
и предыдущее равенство примет вид , откуда Аналогично находим x2. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А: Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x1, x2 и применяем свойства определителя: Откуда . Аналогично находим x3. Если обозначить , то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера. , , . Пример 2.3. Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера: Решение. Находим определитель основной матрицы системы Поскольку D¹0, то для нахождения решения системы можно применить правило Крамера, но предварительно вычислим еще три определителя: Тогда Проверка: Следовательно, решение найдено правильно. 2. Выпуклость: определение, признак выпуклости, точки перегиба. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой. Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения. признак выпуклости: Достаточный признак (выпуклости) вогнутости на интервале : Пусть функция y = f(x) имеет двойную производную во всех точках Если <0 во всех точках интервала , то графиквыпуклый. Если >0 всюду на интервале , то графиквогнутый. точки перегиба: Точкой перегиба графика функции называется точка , в которой функция определена и которая разделяет промежутки выпуклости и вогнутости функции. В окрестности такой точки график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции так, что с одной стороны от этой точки график лежит под касательной, а с другой – над нею. В окрестности тоски перегиба график функции геометрически переходит с одной сторон касательной на другую и «перегибается» через неё. Отсюда и произошло название «точка перегиба». На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.
Билет 3 1. Скаляры и векторы. Скаляр - величина, каждое значение которой может быть выражено одним (действительным) числом без указания направления. Примерами скаляров являются длина, площадь, время, масса, плотность, температура и т. п. Вектор - это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 364. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |