Аналогично для наибольших нижних граней.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  В самом деле,  и  для любого .

Поэтому , откуда следует утверждение теоремы.

Неравенство в теореме 6 нельзя заменить равенством даже в случае полных решеток Брауэра.

Вместе с тем вернее

Теорема 7. Если - булево кольцо и существует наименьшая верхняя грань , то для произвольного существует наименьшая верхняя грань  и она равна . Аналогично для наибольшей нижней грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Т.к.  для каждого , то достаточно показать, что если , то . Из условия следует, что , поэтому  для произвольного . Отсюда , следовательно, .

Наконец, для булевых колец верна теория де Моргана.

Теорема 8. Если существует наименьшая верхняя грань , то существует грань  и она равна . Аналогично для наибольшей нижней грани.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Т.к. , то, по закону контрапозиции,  для каждого . Если  для каждого , то , а поэтому  и , откуда .

Приведенный выше анализ показывает, что все основные теоремы §1 можно обобщить на случаи полных булевых колец. Для неполных колец эти теоремы верны при условии, что все верхние и нижние грани, встречающиеся в условиях теоремы, существуют. Интересно отметить, что, хотя в законе дистрибутивности не содержится знака дополнения (теорема 7), он выполняется только для булевых колец. Еще более интересно складываются обстоятельства для обобщенного закона дистрибутивности (теорема 4, § 1). Мы покажем, что булевы кольца вида  являются в принципе единственными булевыми кольцами, для которых этот закон выполняется.

Сначала дадим два определения.

О п р е д е л е н и е  1. Булево кольцо называется дистрибутивным, если оно полно и для каждого множества , каждой функции  и каждого разбиения  на сумму непустых множеств

    (1)

где             (2).

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Обозначим , . Эта формула задает функцию, определенную на , значениями которой служат подмножества множества . Очевидно, что .

Функция  взаимно однозначна. В самом деле, пусть  и  - элементы кольца .  т.к. кольцо атомарно, то существует такой атом , что . Из неравенств

1) ,

2)

следует, что

1)  или 2)

и 3) или 4) .

Из равенств 1), 3) следует, что .

Т.е. , что противоречит определению 2.

Равенства 2), 4) дают:

, что противоречит определению 2.

Таким образом, или 1) и 4);

                       или 2) и 3).

В первом случае ( 1) и 4) )  и , во втором случае ( 2) и 3) )  и .

Значит, или ,

         или .

Но в обоих этих случаях .

Пусть . Если , то существует такое , что , откуда , а поэтому .

Итак, мы доказали, что прямое включение из (3) справедливо:

          (5).

Пусть теперь , т.е. . Если  для каждого , то , и, значит : , т.к. . Но это противоречит тому, что . Следовательно, существует такое , что , т.е. , а поэтому .

Итак, обратное включение  доказано. Оно вместе с (5) дает равенство (3).

Еще проще доказывается равенство (4)           Осталось показать, что каждое множество  можно представить в виде  для некоторого . Положим , , ( эта  - наименьшая верхняя грань существует, т.к. кольцо  полно).

Тогда в соответствии с (3) , поскольку  - единственный атом, содержащийся в , а значит, .

Теорема 9 доказана полностью.

Теорема 10. Полное атомарное булево кольцо  дистрибутивно.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 9 , существует функция , изоморфно отображающая  на тело подмножеств некоторого множества . По теореме 4 § 1 из формулы (1) настоящего параграфа следует , откуда в силу (3) и (4) . Т.к. функция  взаимно однозначна, то отсюда следует (1).