Декартовы произведения топологических пространств.

Пусть  для каждого t T является топологическим пространством. Обозначим через замыкание в пространстве  множества  . Таким образом,  – такая функция, что  для каждого t.

Очевидно, что существует много способов определения замыкания в пространстве , т.к. каждое множество можно превратить в топологическое пространство разными способами.

Опишем здесь некоторую специальную топологию пространства , введенную Тихоновым.

Пусть - конечное подмножество множества T, а - открытое множество в пространстве  для каждого . Назовем окрестностью, определяемой множеством  покрытыми множествами , подмножество  декартова произведения .

Докажем, что произведение двух окрестностей либо пусто, либо тоже окрестность. В самом деле, если окрестность Г определена конечными множествами S и открытыми множествами , а окрестность определена конечными множествами  и открытыми множествами , то

Таким образом, множество , либо пусто, либо является окрестностью, определяемым конечным множеством  и открытыми множествами.

Определим замыкание множества  как множество CX таких , что каждая окружность , содержащая , содержит по крайней мере один элемент множества :

(*)

Теорема 1. Декартово произведение  представляет собой топологическое пространство относительно операции замыкания для .

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Для доказательства теоремы проверим, выполняются ли аксиомы (1)-(4) (гл. I , § 8). Аксиомы (3), (4) очевидны :

Аксиома (3) : ; аксиома (4): .

Аксиома 1.  Пусть . Тогда каждая окрестность, содержащая , содержит хотя бы один элемент из . Значит, , а отсюда следует, что , и тогда . Аналогично , следовательно, .

Пусть теперь , . Тогда  для каждой окрестности Г, содержащей f , и для некоторой окрестности , содержащей f . Если Г – правильная окрестность, содержащая f , то - также окрестность, содержащая f , и поэтому , откуда  и тем более . Это значит, что .

Аксиома 2. ( ). Достаточно показать, что . Пусть и Г – производная окрестность, содержащая f. Следовательно, . Возьмем . Тогда Г – окрестность, содержащая g , и т.к. , то . Это значит, что выполняется условие (*) , и поэтому .

Приведем примеры декартовых произведений топологических пространств.

Пример 1. Множество Кантора. Так называется множество , т.е. декартова степень двухэлементного множества.

Если в множестве определить топологию, положив для каждого (дискретная топология), то станет топологическом пространством с топологией Тихонова.

Ставя в соответствие элементу вещественное число , получаем взаимно однозначное соответствие  множества и множества вещественных чисел замкнутого интервала , имеющих в топологическом разложении только цифры 0 и 2.

Пример 2. Обобщенное множество Кантора . Это декартова степень . Топология Тихонова в этом множестве определяется так же, как для множества .

Обобщенное множество Кантора можно также определить как множество характеристических функций подмножеств множества . В действительности можно отождествить множества и . Поэтому в дальнейшем не будем трактовать множество как топологическое пространство. Аналогично можно отождествить элементы множества  с отношениями над полями, содержащимися в , поскольку каждый элемент множества  является характеристической функцией множества упорядоченных пар элементов из .

Tеорема 2. Семейство  замкнуто и открыто в . Семейство замкнуто и открыто в .

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Обозначим через окрестность в , определенную множеством и открытым множеством . Тогда  и, значит, состоит из характеристических функций множеств, принадлежащих семейству . Таким образом,  - открытое множество. Аналогично окрестность, определенная множеством и открытым множеством , состоит из характеристических функций множеств, составляющих семейство . Эта доказывает, что семейство  замкнуто в .

Вторая часть теоремы следует из первой.

Пример 3. Пространство Бэра. Так называется декартова степень , т.е. множество бесконечных последовательностей натуральных чисел. Топология в  - топология Тихонова, при чем операция замыкания в определяется равенством .

Если - последовательность из  членов , то множество одновременно замкнуто и открыто в .

Это множество последовательностей , удовлетворяющих условиям  для , т.е. оно совпадает окрестностью  в , определенной множеством  и открытыми множествами  для .

Дополнение этой окрестности открыто , т.к. оно совпадает с суммой окрестностей, определенных множествами и открытыми множествами , .

Ставя в соответствие элементу  число  ,

Получим взаимно однозначные отображения пространства на множество иррациональных чисел открытого интервала (0,1).

Таким образом, можно отождествить пространство Бэра с множеством иррациональных чисел, удовлетворяющих условию .

Пример 4. Декартово произведение конечного числа пространств. Конструкция, описанная в этом параграфе, в одинаковой степени применима как к случаю, когда множество  в формуле конечно, так и к случаю, когда это множество бесконечно.

Если - конечное множество, например , то декартово произведение , где для каждого  множество  открыто в , образует открытую базу в .

Если , где - множество вещественных чисел, то пространство называется n-мерным евклидовым пространством. Это пространство мы будем применять в дальнейшем только в некоторых примерах, т.к. в отличие от других рассмотренных выше пространств оно было определено не только с помощью понятий теории множеств.

В дальнейших главах мы будем пользоваться следующей теоремой.

Теорема 3. Если - декартово произведение топологических пространств (с топологией Тихонова), ,  для каждого  замкнуто в , то  также замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  и . Тогда  для некоторого . Окрестность  точки , определенная одноэлементным множеством и открытым множеством , содержит и не пересекается с , что и т.д.

Теорема Тихонова.

Семейство R подмножеств множества называется центрированным, если пересечение любого конечного числа множеств из R не пусто, т.е. существует «центр».(НК)

Топологическое пространство  называется компактным, если каждое центрированное семейство его замкнутых подмножеств имеет непустое пересечение. Это значит, что топологическое пространство  компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство открытых множеств, в сумме составляющих , содержит конечное подмножество, сумма множеств которого также равна .

Приведенная ниже теорема относится, собственно говоря, не к общей теории множеств, а к топологии.

Мы ее поместили здесь потому, что она имеет многочисленные приложения(между прочим, и в самой теории множеств), методы, применяемые в ее доказательстве, фактически не выводят нас из теории множеств.

°Теорема 1 (Тихонов). Если для каждого  пространство компактно, то пространство  также компактно (в топологии Тихонова).

Пример 1. Множества , ,  компактны.

Пример 2. Пусть - высказывательная функция, полученная из высказывательных функций

         (*)

с помощью одних только операций исчисления высказываний. Также высказывательные функции назовем открытыми.

Пусть  для  и произвольной открытой высказывательной функции .

Множество  одновременно открыто и замкнуто в . Действительно, для высказывательных функций (*) это следует из теоремы 2 (§ 6), а для других высказывательных функций – из связи между логическими теоретико-множественными операциями и просто замечания, что сумма, произведение и дополнение открыто-замкнутых множеств тоже открыты и замкнуты.

Пусть теперь - открытая высказывательная функция с переменными , и пусть - элементы множества . Из компактности множества  следует

Теорема 2. Если для каждого произведение  не пусто, то и бесконечное произведение  непусто.

В этой теореме утверждается, что из существования отношений , удовлетворяющих условиям  для , следует существование одного “универсального” отношения, удовлетворяющего всем этим условиям.