Теорема 11. Полное дистрибутивное булево кольцо атомарно.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Предположим, что - полное, дистрибутивное, но не атомарное кольцо, и пусть  - тот его элемент, который не содержит ни единого атома. Пусть  для  и  для . Т.к. , то, согласно предположению, верно равенство (1), где , а  определяется формулой (2) для . Из определения множества  следует, что  откуда .

В силу (1) существует такое множество , что .

Положим    (6).

Поскольку  не содержит никакого атома,  не будет атомом, т.е. существует такой элемент , что

 и       (7).

Согласно определению класса (2) , т.е. или , или , откуда следует (согласно (6) ), что или , или . В первом случае получаем ( учитывая, что ) , во втором случае . Таким образом, или , или  вопреки (7).

Полученное противоречие доказывает теорему.

Пример. Булево кольцо  плоских регулярно замкнутых множеств полно, но не дистрибутивно. Действительно, В главе I мы показали, что  является булевым кольцом с операциями ⊙, ’ и что в каждом отличном от нуля элементе этого кольца содержится непустой и отличный от него элемент. Таким образом, кольцо  не атомарно. Из примеров 3, 4 (§ 1, глава IV) следует, что кольцо  полно, а тогда в силу теоремы 11 оно и дистрибутивно.

Этот пример интересен тем, что он показывает, что все законы алгебры множеств переносятся на булевы кольца даже в случае полных колец.