Бесконечные операции в решетках и булевых кольцах.

Утверждения, доказанные в предыдущих параграфах этой главы, можно рассматривать как термины о решетке . Как мы знаем, эта решетка полна и является булевой алгеброй. Естественно возникает вопрос, можно ли обобщить термин №1 на произвольные решетки, полные решетки, булевы кольца.

Предположим сначала, что  - произвольное упорядоченное множество и . Тогда справедливы теоремы, аналогичные теоремам 1-3 §1.

Теорема 1. Наименьшая верхняя грань (наименьшая нижняя грань ), если она существует, является единственным элементом множества , удовлетворяющим условиям:

(соответственно ).

Теорема 2. Если  и для каждого  существует наименьшая верхняя грань , и если существует наименьшая верхняя грань , то существует наименьшая верхняя грань . Аналогично для наибольших нижних граней.

Теорема 3. Если  - перестановка множества  и существует наименьшая верхняя грань , то существует также наименьшая верхняя грань . Аналогично для наибольших нижних граней.

Для произвольного упорядоченного множества можно доказать утверждение, аналогичное (3), § 1.

Теорема 4. Если существуют грани  и , то  для всех .

Формулы (4)-(11) § 1 не имеют аналогов в произвольных упорядоченных множествах.

Теорема 5. Если - решетка, и существуют наименьшие верхние грани , , то существует наименьшая верхняя грань  и она равна . Аналогично для наибольших нижних граней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле,  для любого . Если , то . Поэтому  и аналогично , откуда .

Условие, что - решетка, мы использовали в самой формулировке теоремы. Для произвольного упорядоченного множества мы не смогли бы говорить о  и .

Теорема 6. Если - решетка и существуют наименьшие верхние грани  и , то .