Обобщённые декартовы произведения.

Пусть  (как в §1) – функция, значениями которой являются подмножества множества , а областью определения – множество .

О п р е д е л е н и е. Декартовым произведением  называется множество таких функций  с областью определения , что  для каждого :

, где .

Если , то вместо пишут . Элементами этого декартова произведения будут такие последовательности , что  для .

Если все сомножители  равны, , то . Здесь - множество функций с областью определения  и множеством значений . Множество  называется декартовой степенью множества .

Для  обозначим через  проекцию множества на , т.е. . Очевидно, что  для каждого .

Замечание. Пусть . Декартовы произведения  и  не совпадают. Первое имеет в качестве элементов последовательности длины 2, второе – упорядоченные пары, а это различные понятия. Однако в действительности различие между этими двумя произведениями не существенно, потому что каждой упорядоченной паре  можно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность . Если  для некоторого , то .

В самом деле, если , то , т.е. .

Теорема 1. Если - конечное множество и  для каждого , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу элементов множества . Если  имеет один элемент, то теорема очевидна. Предположим, что теорема взята в случае, когда  имеет  элементов. Пусть , где .

Пусть  для . Докажем, что . Возьмём  и . Тогда множество  будет функцией, принадлежащей , следовательно, множество  непусто.

Теорема 1 распространяется также на случай произвольного , если все сомножители  совпадают.

Теорема 2. Если , то .

В общем случае доказательство того, что декартово произведение непустых множеств непусто, требует аксиомы выбора.

ºTеорема 3. Если  для , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Элементами множества  будет функция выбора для семейства .

Пользуясь декартовыми произведениями (например в алгебре, топологии и т.п.), мы обычно сталкиваемся со случаями, когда на множествах  определены некоторые операции или отношения или когда множества  являются топологическими пространствами. Рассмотрим сначала случай, когда на каждом множестве  определена только одна операция – для удобства будет считать её бинарной.

Другими словами, кроме функции , задана  такая функция  двух переменных, что  для каждого .

Функция  определяет бинарную операцию  на элементах декартова произведения :

, где .

Таким образом,  - такой элемент  декартова произведения, что  для всех . Операция  называется декартовым произведением операций .

Аналогично определяется декартово произведение отношений. Пусть - такая функция, что  (для каждого ) есть отношение над полем, содержащимся в .

Декартовым произведением отношения называется такое отношение  над полем, содержащемся в , что .

Здесь надо заметить, что - двуместное отношение, т.е. множество упорядоченных пар, в то время как - множество функций. Однако можно естественным образом поставить в соответствие декартову произведению  отношение между функциями , которое выполняется тогда и только тогда, когда функция , определенная равенством  (т.е. функция ), принадлежит . Это отношение совпадает с отношением .

Очевидно, что все эти определения без труда переносятся на случай, когда на каждом множестве  задача не одна, а произвольное число операций (или отношений).

Пример. Предположим, что - булево кольцо относительно операций  и элементов . Обозначим через  декартовы произведения операций , а через  и  такие функции, что  и  для всех .

Теорема 4. Декартово произведение  является булевым кольцом относительно операций  и элементов  и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно проверить справедливость аксиомы булевой алгебры (I – V', §9, гл. I). Проверим, например, справедливость (IV). Пусть . По определению - это такая функция , что  для каждого . Т.к. для  аксиома (IV) верна, то  и, значит, .

Булево кольцо  называется декартовым (или прямым) произведением булевых колец .

Аналогично определяется прямое произведение группы колец и других алгебраических систем.