Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Обобщённые декартовы произведения.
Пусть (как в §1) – функция, значениями которой являются подмножества множества , а областью определения – множество . О п р е д е л е н и е. Декартовым произведением называется множество таких функций с областью определения , что для каждого : , где . Если , то вместо пишут . Элементами этого декартова произведения будут такие последовательности , что для . Если все сомножители равны, , то . Здесь - множество функций с областью определения и множеством значений . Множество называется декартовой степенью множества . Для обозначим через проекцию множества на , т.е. . Очевидно, что для каждого . Замечание. Пусть . Декартовы произведения и не совпадают. Первое имеет в качестве элементов последовательности длины 2, второе – упорядоченные пары, а это различные понятия. Однако в действительности различие между этими двумя произведениями не существенно, потому что каждой упорядоченной паре можно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность . Если для некоторого , то . В самом деле, если , то , т.е. . Теорема 1. Если - конечное множество и для каждого , то . Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу элементов множества . Если имеет один элемент, то теорема очевидна. Предположим, что теорема взята в случае, когда имеет элементов. Пусть , где . Пусть для . Докажем, что . Возьмём и . Тогда множество будет функцией, принадлежащей , следовательно, множество непусто. Теорема 1 распространяется также на случай произвольного , если все сомножители совпадают. Теорема 2. Если , то . В общем случае доказательство того, что декартово произведение непустых множеств непусто, требует аксиомы выбора. ºTеорема 3. Если для , то . Д о к а з а т е л ь с т в о. Элементами множества будет функция выбора для семейства . Пользуясь декартовыми произведениями (например в алгебре, топологии и т.п.), мы обычно сталкиваемся со случаями, когда на множествах определены некоторые операции или отношения или когда множества являются топологическими пространствами. Рассмотрим сначала случай, когда на каждом множестве определена только одна операция – для удобства будет считать её бинарной. Другими словами, кроме функции , задана такая функция двух переменных, что для каждого . Функция определяет бинарную операцию на элементах декартова произведения : , где . Таким образом, - такой элемент декартова произведения, что для всех . Операция называется декартовым произведением операций . Аналогично определяется декартово произведение отношений. Пусть - такая функция, что (для каждого ) есть отношение над полем, содержащимся в . Декартовым произведением отношения называется такое отношение над полем, содержащемся в , что . Здесь надо заметить, что - двуместное отношение, т.е. множество упорядоченных пар, в то время как - множество функций. Однако можно естественным образом поставить в соответствие декартову произведению отношение между функциями , которое выполняется тогда и только тогда, когда функция , определенная равенством (т.е. функция ), принадлежит . Это отношение совпадает с отношением . Очевидно, что все эти определения без труда переносятся на случай, когда на каждом множестве задача не одна, а произвольное число операций (или отношений). Пример. Предположим, что - булево кольцо относительно операций и элементов . Обозначим через декартовы произведения операций , а через и такие функции, что и для всех . Теорема 4. Декартово произведение является булевым кольцом относительно операций и элементов и . Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно проверить справедливость аксиомы булевой алгебры (I – V', §9, гл. I). Проверим, например, справедливость (IV). Пусть . По определению - это такая функция , что для каждого . Т.к. для аксиома (IV) верна, то и, значит, . Булево кольцо называется декартовым (или прямым) произведением булевых колец . Аналогично определяется прямое произведение группы колец и других алгебраических систем.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 203. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |