Теорема 3. Минимальное расширение булева кольца является булевым кольцом.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть β - минимальное расширение булева кольца . Достаточно показать, что β - дистрибутивная решетка с нулями 0 и единицами  и для каждого сечения  существует такое сечение , что

1) ,

2)  (15)  (смотреть теорему из §10, глава I )

Очевидно, что нулем в β является сечение , а единицей – сечение .

Сечение , определенное в (14), удовлетворяет условиям (15). Действительно, нижний класс сечения  есть  (смотреть (13)).

Единственный элемент этого множества - , поскольку .

Это доказывает первое из равенств (15), второе доказывается аналогично.

Осталось доказать закон дистрибутивности.

Т.к.  для каждой решетки, достаточно показать, что если  и  - три сечения в , то .

Используя (12) и (13), сводим это неравенство к виду  или, согласно (11) и определению множеств  и :

(16)

Предположим теперь, что элементы  и  удовлетворяют посылке импликации (16). Тогда  для любого , откуда .

В силу произвольности  элемент  принадлежит . Аналогично . Т.к.  удовлетворяет посылке импликации (16), то  и . Это доказывает импликацию (16), а вместе с ней теорему 3.