Теория представления дистрибутивных решеток.

Основное понятие в этой теории – понятии идеала.

Определение. Идеалом дистрибутивной решетки  называется такое непустое множество , что

(1),

   (2) (смотреть (II) §5, глава I )

За последнее время многие авторы вместо идеала используют понятие фильтра, т.е. подмножества множества , удовлетворяющего условиям, двойственным условиям (1), (2):

(1'),

   (2').

Все приведенные ниже теоремы об идеалах можно превратить в теоремы о фильтрах простой заменой символов  на &,  на .

Понятие фильтра двойственно к понятию идеала, поэтому достаточно рассматривать какое-либо одно из них (смотреть Р. Сикорский «Булевы алгебры», страница 25).

Идеал  называется простым, если  и для :

 (3).

Пример 1. Пусть А - решетка множеств (например, всех подмножеств произвольного множества ) и - произвольный элемент суммы S(А). Семейство  множеств А, не содержащих элемент , образует простой идеал вА.

Если  - произвольные, не совпадающие элементы суммы S(А), то семейство тех А, которые не содержат ни одного из элементов , также является идеалом, но, вообще говоря, не простым.

Пример 2. Семейство всех конечных множеств А является идеалом вА.

Пример 3. Если А - семейство всех подмножеств множества вещественных чисел, то семейство множеств Лебедевой меры  образует идеал вА.

В произвольной решетке множество  есть идеал, который называется главным идеалом, порожденным элементом .

Мы будем пользоваться следующими общими свойствами идеалов:

      (4).

Действительно, ,

                   .

Если , то  и , в силу (2)

                  (5).

Действительно, .

(6) Множество  таких элементов , что  для некоторого , является идеалом и , .

В самом деле, если  и , то , откуда , поскольку . Если  и , то . Таким образом, - идеал. Включение  и  очевидны.

(7) Пусть идеалы  для  образуют такое монотонное семейство идеалов, что ,  для каждого . Тогда сумма  является идеалом и , . (лекция “Топология I”, страница 33).

Действительно, если и , то оба элемента принадлежат либо , либо . В каждом из этих случаев .

Если и , то , а поэтому . Таким образом, - идеал и, очевидно,  и .

Если , то существует такой идеал , что , .(  - отрицание. , ) (8).

Действительно, таким идеалом будет множество .

Пусть  и - семейство всех идеалов, содержащих  и не содержащих .

Если решетка  дистрибутивна и , то каждый максимальный элемент  семейства  является простым идеалом.

В самом деле, возьмем . Если , то - собственное подмножество идеала , а тогда  не принадлежит семейству . Т.к. , то и , откуда  для некоторого . Аналогично, если , то  для некоторого . В силу дистрибутивности решетки .

( I)

Элементы ,  и  принадлежат  в силу (5), а элемент  мы взяли из . Поэтому правая часть в  принадлежит , откуда согласно (2),  вопреки условию .

Таким образом, предположение, что ни , ни  не принадлежит , ведет к противоречию. Т.к. , то . Следовательно, - простой идеал.

В главе (VII) из (7) и (8) мы получили (с помощью аксиомы выбора) следующий результат: семейство  имеет максимальный элемент, т.е. существует идеал , который не является собственным подмножеством никакого идеала из .

Итак, мы ввели понятия дистрибутивной решетки, булева кольца, решетки множеств, тела множеств. Привели схему, показывающую взаимосвязь между этими понятиями:

Докажем, что каждая дистрибутивная решетка изоморфна решетке множеств, а каждое булево кольцо с 1 – телу множеств.

°Tеорема 1. Для каждой дистрибутивной решетки существует изоморфная ей решетка множеств.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть  - дистрибутивная решетка. Элементу  ставим в соответствие семейство простых идеалов, для которых .

Это соответствие взаимно однозначно. Действительно, если , то либо , либо . Тогда, согласно (9) и (10) , существует такой простой идеал , что либо , либо , т.е. такой, что либо , , либо , .

В первом случае , , во втором случае , . В обоих случаях .

Из (1) и (4) получаем

а из (3) и (5)

Следовательно, , .

Эти равенства доказывают, что класс, составленный из всех семейств , является решеткой множеств, изоморфной решетке .

°Теорема 2. Для каждого булево кольца существует изоморфное тело множеств.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если решетка  из теоремы 1 представляет собой булево кольцо, то в ней существует нулевой элемент , единичный , и для каждого  такой элемент , что  и . При соответствии  элементу о соответствует пустое множество, а элементу  - все кольцо . Т.к.  и , то . Таким образом, множество всех семейство - не только решетка множеств, но и тело множеств.

 Приведем для теоремы 2 еще топологическую интерпретацию. Пусть - булево кольцо с нулевым элементом  и единичным , и пусть - множество всех простых идеалов кольца . Каждое из семейств  назовем окрестностью каждого своего элемента.

Для любого множества  будем считать, что , если каждая окрестность идеала  содержит элемент из .

°Теорема 3. I. - компактное топологическое пространство.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Проверку аксиом топологии выполнить самостоятельно.

Для того, чтобы доказать, что пространство  компактно, рассмотрим центрированное семейство  замкнутых множеств.

Покажем, что .

Обозначим через  семейство всех конечных произведений вида , где - произвольное натуральное число, и . Таким образом, семейство  - семейство непустых замкнутых множеств. Положим .

Очевидно, что . Если , то  для некоторых , поэтому . Т.к.  и , то . Следовательно, - идеал.

Покажем, что . В противном случае для некоторого множества  было бы

, откуда , т.е. , вопреки центрированности семейства .

Таким образом, в силу (10) существует простой идеал . Значит, он принадлежит . Покажем, что .

Пусть - произвольное множество, принадлежащее , и пусть - окрестность идеала  и тем более . По определению идеала  тогда  для каждого ; в частности, . Следовательно, каждая окрестность идеала  имеет непустое пересечение с , и поэтому , откуда , и утверждение I. Теорема 3 доказано.

II-е утверждение справедливо, поскольку семейство  открыто в (как окрестность), а его дополнение  открыто, т.к. оно равно , т.е. также окрестность.

Чтобы доказать III-е утверждение, предположим, что множество открыто и замкнуто в пространстве , и пусть . Т.к. каждый элемент открытого множества  имеет по крайней мере одну окрестность , содержащуюся в , то  и поэтому . Следовательно, семейство, составленное из множества  и из множеств , где , имеет пустое пересечение. Поскольку оно состоит из всех замкнутых множеств, оно не центрировано, т.е. существует такое конечное подмножество  семейства , что . Тогда , т.е.  имеет вид , что и требовалось доказать.

Построенное в теореме 3 пространство  называется пространством Стоуна кольца A.

Из теоремы 3 вытекает

°Следствие 4. Каждое булево кольцо с единицей изоморфно телу открыто-замкнутых множеств компактного пространства.