Обратные системы и их пределы.

Пусть даны:

a) произвольное множество ,

b) упорядоченно (или квазиупорядоченное) отношение  множество ,

c) функция , такая, что  для каждого ,

d) функция  , которую можно записать в виде  или , где  (1)

Пусть функция  удовлетворяет условиям   (2),

 для каждого  является равенством (3)

Система  называется обратной системой. Обратным пределом этой системы, обозначенным  или , называется подмножество произведения , состоящее из таких элементов , что

        (4).

Пусть  обозначает -ю координатную функцию , т.е. функцию , определенную равенством

          (5)

тогда

        (6)

Если даны две обратные системы :  и  и функция , т.е. , и диаграмма 

Коммутативна, т.е. , если  , то можно так определить отображение , чтобы диаграмма

Была коммутативна для каждого .

Для этого достаточно для каждого  задать  условием .

Легко доказать, что если - взаимно однозначное отображение множества  на  для каждого , то - взаимно однозначное отображение множества  на .

Пример 1. Пусть множество  упорядочено отношением равенства. Тогда .

Пример 2. Пусть множество  направлено ( глава II, §5. Определение 2. Множество , упорядоченное (или квазиупорядоченное) отношением , называется направленным, если, для каждой пары , существует такое , что  и .),  для каждого  и  - тождественное отображение. Тогда  является множеством всех констант .

Для доказательства заметим, что если , то существует такое , что и .

Отсюда , и тогда, согласно (4), . Аналогично , поэтому .

Пример 3. Множество  всех отображений можно с помощью операции сужения  представить как обратный предел множества , где . Для этого надо в качестве направленного множества  взять множество , упорядоченное отношением включения, функцию задать равенством  для  и каждой паре  поставить в соответствие функцию , определенную равенством , где .

Здесь роль множества  в обратной системе играет множество  всех сужений, т.е. .

Поставим в соответствие каждому элементу  элемент , определенный условием .

Легко проверить, что , т.е. .

При этом  отображает  на все множество . Действительно, пусть , тогда  для каждого . Определим  условием . Легко видеть, что , т.е.  для .

Наконец, отображение  взаимно однозначно. Действительно, если , то существует такое , , т.е. . Следовательно, , так что .

Следует отметить, что все эти рассуждения остаются в силе, если и  - метрические пространства. Тогда  будет семейством компактных подмножеств пространства , а  - семейством непрерывных отображений .