Теорема 3. Семейство содержит в качестве подмножеств каждое из семейств

Вообще говоря, никакие два из этих семейств не совпадают; кроме того, они не исчерпывают всего семейства .

Опишем теперь метод, позволяющий решить, принадлежит ли данное множество, определенное при помощи высказывательной функции, семейству .

Пусть  - высказывательная функция, переменные  пробегают множество . Положим , , где каждый из символов  обозначает либо квантор всеобщности, либо квантор существования.

Теорема 4. Если для произвольных  множество  принадлежит , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу кванторов.

1) Если , то  и тогда  по условию.

2) Если теорема верна для  квантора, то каждое из множеств  принадлежит . Если - квантор существования, то , а если - квантор всеобщности, то . В обоих случаях  и теорема доказана.

Наиболее интересный пример семейства  получим если в качестве  возьмём семейство  замкнутых множеств произвольного топологического пространства . В этому случае  называется семейством борелевских множеств пространства .

Пример. Докажем, что множество предельных точек последовательности непрерывных функций есть множество типа .

Для этого запишем условие Коши сходимости последовательности вещественных чисел , , …, ,…:

Отсюда видно, что множество  предельных точек последовательности непрерывных функций , , ..., f_n, …, имеет вид:

Полагая

,

получаем

.

Т.к.  (при фиксированных индексах) замкнуто (это следует из непрерывности рассматриваемых функций), то  есть множество типа .