Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.

Пусть - некоторое фиксированное множество, - функция произвольного числа переменных, каждое из которых пробегает какое-нибудь семейство подмножеств множества .

Для простоты изложения будем считать, что - функция 2-х переменных, т.е. областью её определения является декартово произведение . Семейство  называется замкнутыми относительно , если

.

Теорема 1. Для каждого семейства  существует такое семейство , что

a) ,

b) Семейство  замкнуто относительно операции ,

c) Семейство  - наименьшее из семейств, обладающих свойствами a) и b), т.е. если для  выполнены условия

, ,     (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - множество всех семейств , для которых выполняется (1). , т.к. . Искомым семейством  будет произведение .

Семейство , обладающее свойствами a) – c), определяется однозначно. Действительно, если  обладает этими свойствами, то из минимальности семейства  (свойство c)) получает . Аналогично, , т.к.  также обладает свойством c). Следовательно, , мы будет обозначать это  семейство .

Теорема 2. Для произвольных семейств , ,  выполняются следующие условия:

I. ,

II. ,

III. .

Д о к а з а т е л ь с т в о.  I) Следует из теоремы 1 (свойство a)). II) следует из того, что  замкнуто относительно  и содержит , значит, в силу минимальности . Для доказательства III заметим, что из условия I следует , с другой стороны,  замкнуто относительно , поэтому .

.

Теорема 1 и теорема 2 имеют свои аналоги для случая, когда дана не одна функция , а произвольное семейство таких функция, и  - наименьшее семейство, содержащее  и замкнутое относительно всех функций. Областями определения этих функций могут быть последовательности подмножеств или даже семейства подмножеств множества . Мы не будет останавливаться на этих обобщениях.

Пример 1. Пусть - обозначает сложение множеств, т.е. . Наименьшее семейство множеств, содержащее  и замкнутое относительно , обозначим символом . Это семейство состоит из конечных сумм вида , где ,  и - последовательность множеств, принадлежащих , т.е. .

Аналогично, если функция  задаётся равенством , то наименьшее семейство, содержащее  и замкнутое относительно , обозначим символом . Это семейство состоит из произведений вида , где , , .

Пример 2. Решеткой множеств, порождённой семейством , назовем наименьшее семейство, содержащее  и замкнутое относительно обеих операций ,  из примера 1.

Теорема 3. Решетка множества, порождённая , совпадает с семейством , причем .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем вначале вторую часть теорема, т.е. .

Пусть , т.е. , где ,  и  для .

Докажем индукцией по , что . Для  имеем , а , т.к. . Предположим, что теорема верна для .

Пусть - произведение , где ,  и  для . Обозначим . По предположению индукции  и, значит, , где ,  и  для .

Т.к. , то .

Поскольку , получаем отсюда, что . Таким образом, . Аналогично доказывается обратное включение.

Теперь докажем, что - решетка множеств, порожденная множеством . Ясно, что семейство  содержится в этой решетке, т.к. операции сложения и умножения не выводят нас из решетки. С другой стороны,

,

следовательно, семейство  замкнуто относительно операций сложения и умножения и потом содержит решетку, порождённую .

§4. - аддитивные и - мультипликативные семейства множеств.

Семейство множеств  называется - аддитивным (соответственно - мультипликативным), если  (соответственно ) для каждой последовательности .

Из теоремы 1, теоремы 2 (§3), обобщающих на случай функций, определенных на последовательностях множеств, вытекают следующие две теоремы.

Теорема 1. Для каждого семейства  существует наименьшее - аддитивное и - мультипликативное семейство , содержащее .

Теорема 2. Для любых семейств , , :

                                                               (1)

                                       (2)

                                                      (3)

Выполняя операции  и  на последовательностях, члены которых принадлежат , мы получаем множества, принадлежащие . Это позволяет произвести классификацию множеств, принадлежащих : для произвольного семейства множеств  обозначим через  семейство множеств вида , где , и через  семейство всех множеств вида , где . Очевидно, что .

Можно определить - аддитивное семейство как такое семейство, для которого , а - мультипликативное как такое, для которого . Т.к. семейство  и - аддитивно и - мультипликативно, то

,

а т.к. , то справедлива теорема.