Операции на бесконечных последовательностях множеств.

Здесь вы рассмотрим один частный случай, когда область определения функции  совпадает с , т.е. функция  представляет собой бесконечную последовательность множеств. По аналогии с рядами и бесконечными произведениями вещественных чисел будем писать:

, или , или  вместо ;

, или , или  вместо .

Из формул (2) §1 непосредственно получаем:

                                          (1)

где  - высказывательная функция 2х переменных, причем множество значений первой переменной ( ) ограничено множеством , и второй ( ) – некоторым множеством .

Кроме операций бесконечного сложения и умножения, рассмотрим ещё операции:

1)  - верхний предел последовательности

(ср.  - наименьшая верхняя грань );

2)  - нижний предел последовательности

(ср.  - наибольшая нижняя грань ).

Легко видеть, что элемент тогда и только тогда, когда он принадлежит бесконечному числу множеств , и  тогда и только тогда, когда он принадлежит  для почти всех значений , т.е. для всех, кроме конечного числа.

Очевидно, что в силу (18) §1, гл. II:

             (2)

Если знак включения в (2) можно заменить знаком равенства, т.е. если верхний и нижний пределы совпадают, то их общее значение обозначают  и называют пределом последовательности , а саму последовательность называют сходящейся.

Терминология эта аналогична терминологии, которой пользуются в теории вещественных чисел. Чтобы подчеркнуть эту аналогию, введем понятие характеристической функции данного множества.

Пусть дано 1 и . Характеристической функцией множества  называется функция

                (3)

Легко видеть, что для сходимости последовательности множеств  (являющихся подмножествами данного множества 1) необходимо и достаточно, чтобы последовательность характеристических функций этих множеств сходилась к характеристической функции множества .

Понятие сходимости последовательности множеств обнаруживает очень интересные аналогии с классическими понятиями сходимости числовых последовательностей, если симметричную разность – двух множеств рассматривать как модуль разности двух чисел. Докажем, что условия

                   (4)

                         (4')

равносильны. В самом деле, условие (4) означает, что элемент  принадлежит  не более чем для конечного числа значений . Другими словами, для каждого  существует такое n₀ что из  следует

                        (5)

Пусть , т.е.  для бесконечного числа значений . Из (5) следует, что  и  для всех , т.е. . Таким образом, из (4) следует

,         (6)

откуда в силу (2) получаем (4').

Обратно, если выполнено условие (6) и , то . Значит,  для . Если же , то  и тогда  для . Таким образом, из (6) следует, что (5) выполняется для каждого  и .

Докажем ещё несколько более специальных правил, относящихся к перестановке символов  и , и замене двух подряд идущих операций  или  одной такой операцией.

Пусть функция  определена на множестве , функция  - на множестве  и  - на множестве , причем значениями этих функций являются множества. Будем пользоваться символикой, введенной в §3, гл. III.

; .     (7)

Докажем только первое из этих равенств, т.к. 2-е доказывается аналогично.

Очевидно, что , поэтому . С другой стороны, если , то  для каких-то , , а тогда , где .

Справедлива также формула

                                                           (8)

В самом деле, , поэтому , откуда в силу произвольности  получаем

.

Если , то для каждого  существует такое , что .

Полагая , получаем , следовательно .

Тем же методом, что и (7) можно доказать равенства

                  (9)

Далее

                   (º10)

В самом деле, , поэтому , откуда .

Для доказательства обратного включения возьмём  и положим далее . Т.к.  для каждого , то существует функция выбора  для семейства всех множеств . Полагая , получаем, что  и  для каждого .

Из т.7 (§3, гл. III) следует, что существует такая последовательность , что  для каждого . Тогда  для каждого , т.е.

.

Выведем теперь из (7) – (10) формулу:

,    (º11)

которая нам пригодится в гл. X.

Здесь  - функция 4-х переменных, определенная на декартовом произведении , а значениями её являются множества.

Заменяя  в равенстве (º10) на  (где - произвольная, но фиксированная последовательность), получаем

.

Таким образом, левая часть равенства (11) равна . С помощью (7) и (9) получаем из этого выражения правую часть равенства (11).