Теорема 4 (обобщённые законы дистрибутивности).

Если  и , то

             (20)

             (21)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  и . По определению семейства  множество , т.е. существует . Согласно (3) . Т.к. это верно для любого  (но фиксированного ), то в силу теоремы 1 имеем:

.

Т.к.  произвольно, то, согласно (3),

             (22)

Для того, чтобы доказать обратно включением, возьмём

                            (23)

Положим

                        (24)

Если , то, согласно (23), . Значит, существует такое , что . Поэтому , откуда . По определению  тогда . Из (24) следует, что , т.е.  и

                            (25)

Таким образом, мы показали, что для произвольных a из (23) следует (25), т.е.

Отсюда в силу (22) имеем равенство (20).

Для доказательства (21) заменим в (20)  на , где :

Применяя законы де Моргана (8) и (9) и формулу , получаем (21).

Теперь обобщим формулы (1) – (4), §7, гл. II, характеризующие образы и прообразы конечных сумм и произведений, на бесконечные суммы и произведения.

Теорема 5. Пусть  и . Тогда

                      (26)

                     (27)

Если - взаимно однозначная функция, то знак включения в (27) можно заменить знаком равенства.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения образа получаем , откуда следует равенство (26).

Аналогично, используя (18) (§1, гл. II), получаем для (27):

 и что т.д.

Если - взаимно однозначная функция, то, применяя (27) к обратной функции  и множествам  получаем

Откуда в силу (2) (§7, гл. II):

Т.к. обратное включение (27) также выполняется, то теорема доказана.

Теорема 6. Если  и , то

         (28)

         (29)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из определения прообраза (§7, гл. II) получаем .

Аналогично доказывается (23):

.

Равенства (26) и (28) означают, что операции взятия образа и прообраза аддитивны, а равенство (29) – что операция взятия прообраза ещё и мультипликативна лишь для взаимно однозначных функций.

Рассмотрим несколько примеров. Пусть множество 1 будет топологическим пространством (§8, гл. I).

Пример 1. Если значения функции - замкнутые множества (§8, гл. I), то произведение  также замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Т.к. , то  для каждого , откуда , поскольку . Тогда , а т.к. и  (аксиома 3, §8, гл. I), то .

Пример 2. Если значения функции - открытое множество, то сумма  также открыта.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Множества  замкнуты, поэтому и произведение  замкнуто. Согласно закону де Моргана (9), множество  также замкнуто, а это значит, что множество  открыто.

Пример 3. Если значения функции - регулярно замкнутые множества (§9, гл. I), то множество  также регулярно замкнуто и содержит в качестве подмножеств все множества . Каждое регулярно замкнутое множество, содержащее в качестве подмножеств все множества , содержит также и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что , откуда  и .                   ( )

Т.к.  произвольно, то по теореме 1  и . В то же время  и поэтому .

Следовательно, , т.е. множество  регулярно замкнуто. В силу ( )  содержит каждое множество . Если - регулярно замкнутое множество и  для каждого , то  и тогда  и тогда .

Пример 4. Если значения функции - регулярно замкнутые множества, то множество  также регулярно замкнуто и содержится в каждом из множеств . Каждое регулярно замкнутое множество, содержащееся в каждом из множеств , содержится такое и в .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим . Тогда , поэтому .

Применяя формулу (15), §8, гл. I, получим . Таким образом,  регулярно замкнуто. Т.к. , то  и , т.е.  для каждого .

Наконец, если - регулярно замкнутое множество и  для каждого , то . Поэтому  и .

Пример 5. В связи с теоремами, сформулированными в примерах 1 и 2, можно определить топологическое пространство, беря в качестве первичного понятия, вместо понятия замыкания, понятия замкнутого множества или открытого множества.

А именно под топологическим пространством будет понимать множество, в котором выделено некоторое семейство  подмножеств, называемых замкнутыми множествами, удовлетворяющих следующим двум условиями:

I. Если , то  (т.е. (см. (9), §8, гл. I) произведение любого непустого семейства замкнутых множеств замкнуто).

II. Если семейство  конечно и , то  (т.е. (см. (1), §8, гл. I) сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута).

Если в качестве первичного понятия взять понятие открытого множества, а, обозначая через - семейство открытых множеств, принимаем двойственные аксиомы.

I '. Если , то .

II '.  Если семейство  конечно и , то .

Система аксиом (I) – (II) эквивалентна системе (1) – (4) гл. I, §8. Последняя выполняется, если определить  формулой , где  - семейство всех замкнутых множеств, содержащих . Тогда .

Аналогичное замечания относится к системе аксиом (I ') – (II').

Пример 6. Замкнутой базой топологического пространства называют такое семейство , что для каждого  существует непустое семейство , для которого .

Замкнутой подбазой называется каждое такое семейство , что семейство всех конечных сумм множеств из  образует замкнутую базу.

Пример 7. Открытая база и открытая подбаза определяются аналогично – заменой  на , произведения на сумму и суммы на произведение.