ГЛАВА IV. БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ДЕКАРТОВЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

В этой главе, как и в предыдущих, мы берем за основу систему аксиом ∑º, причем теоремы не помеченные знаком º, не зависят от аксиом выбора.

Цель настоящей главы – обобщить операции сложения, умножения и декартова умножения на произведение семейства множеств.

Бесконечные суммы и произведения.

Пусть - функция, значениями которой являются подмножества некоторого фиксированного множества , а область её определения – непустое множество . ( )

Тогда . Вместо  мы будем писать .

Пусть - множество значений функций , т.е. семейство множеств , когда  пробегает все .

Сумма множеств  будет обозначать , а произведение - , т.е.

,            

Очевидно, что

               ,                (1)

Если  состоит только из одного элемента , то

.

Если же  состоит из 2х элементов  и , то

, .

Таким образом, рассматриваемые здесь понятия обобщают понятия суммы и произведения множеств на случай произвольного семейства слагаемых.

Из (1) вытекают равенства:

                                                         (2)

Справедливые для каждой высказывательной функции 2х переменных  (с ограниченной областью определения).

В самом деле, полагая , получаем , поэтому:

2-е равенство в (2) доказывается аналогично.

Используя (1) и формулы, характеризующие кванторы, §1 гл.II, получаем следующие законы для обобщённых операций:

                      (3)

          (4)

          (5)

          (6)

        (7)

                                           (8)

,                                      (9)

                                            (10)

,                                          (11)

,                        (12)

.                         (13)

Все эти законы непосредственно следуют из соответствующих законов §1, гл. II. Докажем, например, закон де Моргана (8):

Для доказательства использованы следующие формулы:

(2) §2, гл. I:                       ,

                       .

(5) §1, гл. II:           

Диаграмма, приведенная в гл.II, §1, позволяет получить дополнительные законы для бесконечных операций. Для этого достаточно знак импликации  заменить знаком включения , а функцию  заменить функцией 2-х переменных , значениями которой являются множества.

В частности, получаем следующую важную формулу:

            (14)

Вообще говоря, знак включения здесь нельзя заменить обратным (см. (18) гл.II, §1).

Теорема 1. Сумма  - единственное множество , удовлетворяющее условиям

               (15)

          (16)

            (15')

   (16')

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (3) и (13) следует, что сумма  удовлетворяет условиям (15) и (16). Если какое-то множество  удовлетворяет этим условиям, то из (15) и (13) непосредственно следует, что . Подставляя  в (16) и используя (3), получаем, что .

Но т.к. по условию теоремы  должно быть единственным, то .

Доказательство для произведения аналогично.

Теорема 2 (Обобщённые законы ассоциативности). Если , где - функция с областью определения , значениями которой являются множества (т.е. ), то

,                  (17)

                  (18)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагая  и ,

представим (17) в виде:

         (19)

Имеем  для каждого  и, в частности, для каждого , откуда по теореме 1 .

Обратно, пусть  для производного . Для каждого  существует такое , что , откуда  и, значит, . Т.к. это верно для любого , то . Применяя теорему 1 получаем (19). Равенство (18) доказывается аналогично.

Теорема 3 (обобщенные законы коммутативности). Если - перестановка множества , то

                    (17')

                      (18')

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем (17'). Пусть . Если , то . А т.к.  для . Обратно, если - такое множество, что  для всех , то , поскольку . Отсюда , а это и значит, что - наименьшее множество, содержащее все множества , т.е. . Равенство (18') доказывается аналогично.