Інтегрування деяких тригонометричних функцій

    Розглянемо деякі типи інтегралів від тригонометричних функцій, які обчислюються в скінченному вигляді. До них належать інтеграли від раціональних функцій відносно функцій , , , , , . Оскільки функції , ,  та  раціонально визначаються через  та , то мова піде про інтеграли виду  

                                           ,                                    (33)

де  – раціональна функція від  та .

  Інтеграли такого виду можна звести до інтегралів від раціональної функції за допомогою так званої універсальної тригонометричної підстановки

                                                  .

Справді,

        ;

         .

Крім того,

     .

Інтеграл (33) після заміни змінної (34) набуває вигляду

, де

 – раціональна функція від змінної .

   Таким чином, інтеграл виду (33) завдяки підстановці (34) завжди можна обчислити в скінченому вигляді. Однак застосування підстановки (34) не завжди доцільне. В окремих випадках можна використати інші, простіші методи. Це стосується, зокрема, інтегралів виду                        

                                    ;                            (35)

                                        ,                           (36)

де  – ціле число;  та  – раціональні функції від своїх аргументів.

     Для обчислення інтеграла (35) застосуємо підстановку

                                                    .                                       (37)

Матимемо

Отже,

           ,  

де – раціональна функція від .

       Аналогічно, якщо скористатися підстановкою

                                           ,

то інтеграл (36) набуває вигляду

        ,

де  – раціональна функція від .

       При обчисленні інтегралів від тригонометричних функцій часто доводиться користуватися відомими формулами тригонометрії.

        Розглянемо інтеграли

                . (39)

        Для знаходження цих інтегралів застосовують такі формули:

                 ;

                  ;

                 .

       Якщо , то перший з інтегралів (39) обчислюють так:

Аналогічно обчислюють і два інші інтеграли.

       При  інтеграли (39) обчислюють так:

;                      (40)

;                          (41)

.                     (42)

   Якщо , то, використовуючи непарність функції  та парність функції , знаходження інтегралів (39) зводиться до випадку .

    Зауважимо, що метод обчислення інтегралів (40) і (42) використовується і для інтегралів виду  та .

Приклади

Знайти інтеграли: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Розв‘язання

1)

Застосуємо підстановку .

Тоді

            , , .

Маємо

2)  

3)

4)