Похідні елементарних функцій

 Похідна сталої функції.  Похідна функції , де   при  виражається формулою .

Доведення.

.

Похідна степеневої функції . Область визначення  цієї функції залежить від . Візьмемо довільну відмінну від нуля внутрішню точку  області визначення . Тоді

.

Зауваження. Якщо , то легко безпосередньо одержати значення похідної при . Отже, для будь-якої точки , де  - область визначення функції , маємо: .

Приклади.

Похідна показникової функції .

Приклади.  

Похідна логарифмічної функції .

    Зокрема, якщо , то .

Похідні тригонометричних функцій.

 Нехай . Тоді

    Аналогічно доводиться, що функція  має похідну .

    Якщо , то

Аналогічно доводиться, що функція

 має похідну .

Похідна оберненої функції.

    Теорема.  Нехай функція  задовольняє всі умови теореми про існування оберненої функції і в точці  має похідну . Тоді обернена до неї функція  у точці  має похідну і

.

    Доведення. Надамо значенню  деякий приріст . Тоді функція  одержить відповідний приріст . Оскільки , то за однозначністю функції , . Отже, .

    Якщо , то за неперервністю функції . Звідси маємо

.

    Похідні обернених тригонометричних функцій. Нехай маємо функцію . За означенням функції

.

    Згідно теореми про похідну оберненої функції

.

    Зауваження. Тут враховано, що при  виконуються співвідношення , тобто . Отже, , а тому  . Точки  не розглядаються, так як  і .

    Аналогічно одержуються похідні інших обернених тригонометричних функцій:

ЛЕКЦІЯ 17

13. Диференціал функції.

14. Похідні вищих порядків.

15. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

16. Диференціали вищих порядків.

Диференціал функції

    Нехай функція  диференційована в точці . Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді

,

де  при . Отже, доданок  є головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від .

    Диференціалом функції  в точці  називається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від .

    Диференціал функції позначається так:

.

Враховуючи, що , маємо  

.

    Диференціалом незалежної змінної  називається її приріст: .

    Отже,

.

Із останньої формули випливає, що похідну  можна обчислити як відношення диференціалів:

.

    Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка  (рис. 21) на графіку функції  має координати , де .

Пряма  - дотична до графіка функції в точці . Тоді приріст  в точці , який відповідає приросту  аргументу, рівний величині відрізка . Оскільки  і , то, враховуючи, що , маємо: диференціал  функції  в точці  дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції  в точці з абсцисою , тобто дорівнює величині відрізка .

    Оскільки диференціал  функції  є головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності , тобто

.

    Отже

                                (1)

    Приклад. Знайти наближено .

    Розв'язування. Розглянемо функцію . Покладемо . Тоді . Далі маємо .

Отже, .

    Якщо функції  диференційовані, то мають місце наступні формули:

                               ,

                               ,

                               ,

                               .

    Нехай тепер маємо складену функцію , де   диференційовані функції в точках  і . Тоді

.

Так як

,

то

.

Оскільки , то маємо .

    Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.