Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Однією із основних задач диференціального числення є знаходження похідної  заданої функції . Різноманітні питання математичного аналізу і його застосувань приводять до оберненої задачі: для даної функції  знайти таку функцію , похідна якої рівна , тобто = .

Відтворення функції за відомою її похідною - одна із основних задач інтегрального числення.

Функція  називається первісною для функції , на деякому проміжку Х, якщо для усіх значень х Î Х виконується рівність = .

    Якщо  - первісна для функції , то й функція , де С  - довільна стала, також є первісною для функції , оскільки ( )′ = + С ′=  + 0 = .

Нехай первісною функції  на проміжку Х, крім функції , є функція , тобто = . Розглянемо різницю - . Обчислимо похідну цієї різниці.

( - )′ = - = -  = 0.

    Отже, згідно з теоремою Лагранжа -  = С. Звідси маємо:  = + С.

    Таким чином, множина первісних функції  на проміжку Х, вичерпується функціями виду + С, де  - одна із первісних функції .

    Означення. Сукупність усіх первісних функції  на проміжку Х називається невизначеним інтегралом функції  на цьому проміжку і позначається .

    Невизначений інтеграл інакше називають інтегралом Ньютона - Лейбніца.

    Якщо  - одна з первісних функції , то за означенням

 = + С.

    Знак називається знаком невизначеного інтеграла,  - підінтегральною функцією, а  - підінтегральним виразом.

    Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

Основні властивості невизначеного інтеграла

        1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

( )′ = + С ′= .

    2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

d( ) = d =  d(x).

    3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної.

= .

    4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо k = const ¹ 0, то

.

    Для доведення цієї властивості досить показати, що права чстина рівності є первісною підінтегральної функції:

.

    5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто

.

        Доведення.

.

Таблиця основних інтегралів

    Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів:

1. ,

2. ,

3. ,

4.

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14.

Безпосереднє інтегрування

    Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім інтегруванням.

    Приклади.

1. .

    2. .     3. .

    4. .

Метод підстановки

    В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′( x) = f(x), хÎ(a, b), то для довільної диференційованої на проміжку (a, b ) функції   x= j(t), де j(t) Î(a, b), якщо  t Î(a, b ) маємо:

(F(j(t)))′ = F ′( x) j′(t) = f(x) j′(t) = f(j(t)) j′(t).

    Таким чином,

,

тобто

.

    Приклади.

1. Обчислити інтеграл .

    Розв’язування. Покладемо , . Тоді

.

2. Обчислити інтеграл .

    Розв’язування. Покладемо . Отже,

.

Інтегрування частинами

Нехай функції  і  визначені й диференційовані на деякому проміжку Х. Тоді

.

Звідси маємо

.

Припустимо, що інтеграл  існує. Тоді

.

Оскільки , то

                                    .                                (1)

Довільну сталу С включає в себе інтеграл .

    Формула (1) називається формулою інтегрування частинами.

    За цією формулою обчислюються , зокрема інтеграли виду

1) , , ,

 де  - многочлен n-ного степеня відносно х, . Тут слід прийняти .

    2) , , , ,  

    Тут також  - многочлен n-ного степеня відносно х. У цих інтегралах .

    Приклади.

.

.

ЛЕКЦІЯ 24

34. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів.

35. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів

Розглянемо дробово-раціональну функцію , де  -

многочлен n-го степеня, а  - многочлен k-го степеня. Якщо n³ k, то, виконавши ділення, одержимо

,

де   r < k. Наприклад,

.

У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку

                          ,             (1)

де А -коефіцієнт при старшому членові многочлена , а  - корені рівняння = 0. Множники  називаються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо

                 ,         (2)

де . Числа називаються кратностями коренів . Серед коренів можуть бути й комплексні. Якщо  - r-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з     r-кратний корінь . Отже, якщо формула (2) містить множник , де , то вона також містить і множник . Перемноживши ці множники, одержимо

= ,

де , ,    p, q - дійсні числа.

Ураховуючи всі комплексні корені многочлена , формулу (2) можна записати у вигляді

,

де  - дійсні числа.

    Дріб  , де  r < n  називається правильним раціональним дробом.

    Теорема. Правильний раціональний дріб , де

можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів

,

де - дійсні числа.

    Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.

Приклад. Розкласти на найпростіші дроби

 .

Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:

,

де - поки що невідомі числа.

    Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.

    Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтів  складемо систему

    Розв’язавши цю систему, одержимо:

.

    Отже,

.