Наслідки з теореми Лагранжа.

1. Якщо функція  на відрізку , має похідну , то на відрізку  стала.

Враховуючи, що похідна від сталої функції дорівнює нулю, що було установлено раніше, і сформульований щойно наслідок. можна сформулювати критерій сталості диференційованої на заданому проміжку функції:

Для того, щоб функція , диференційована на проміжку , була сталою, необхідно і достатньо, щоб її похідна  була рівною нулю в усіх точках цього проміжку.

3) Якщо функції  і  неперервні на проміжку  і при будь-якому , то функція  є сталою, тобто , де .

Теорема Коші

Теорема.Якщо функції  і  1) неперервні на відрізку ,

2) диференційовані на інтервалі , і ,

то існує точка  така, що .

Доведення. Побудуємо допоміжну функцію

.

Легко перевірити, що ця функція задовольняє всім умовам теореми Ролля:  неперервна на , диференційована на  і . Отже, за теоремою Ролля існує точка  така, що . Оскільки

,

то

.

Звідси маємо

.

Одержана формула називається формулою Коші або узагальненою формулою скінчених приростів.

Зауваження. У формулі Коші  тому, що за умови , згідно з теоремою Ролля існувала б точка  така, що , що суперечить умові .

ЛЕКЦІЯ 19

22. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

2.Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .

Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.

Теорема 1 ( правило Лопіталя). Нехай функції  і  визначені в проміжку  і . Нехай, крім того, в проміжку  існують скінченні похідні  і , причому . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

.

    Доведення. Доозначимо в точці  функції  і , поклавши . Тоді на відрізку  функції  і  задовольняють умовам теореми Коші. Отже,

,

де . Якщо , то зрозуміло, що й . Враховуючи, що  і те, що існує границя , робимо висновок

.

    Зауваження. Якщо похідні  і  задовольняють умовам, котрі накладаються в наведеній теоремі на функції  і , то правило Лопіталя можна застосувати повторно, тобто

.

Теорема 1 справджується й тоді, коли . Нехай функції  і  визначені в проміжку , , і в проміжку  існують скінчені похідні  та , де . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

.

Для доведення цього твердження достатньо покласти  і застосувати теорему 1.

    Теорема 2 (правило Лопіталя). Нехай функції  і  визначені в проміжку ,  і в проміжку  існують скінчені похідні  та , причому . Тоді, якщо існує границя , то існує й границя , причому

.

    Доведення цієї теореми можна прочитати, наприклад, в книзі Г. М. Фихтенгольца “Основы математического анализа”, т. 1. - М.: Наука, 1964. Теорема 2 має місце також, коли .

    Правило Лопіталя дає можливість розкривати невизначеності типу .

    Приклади.