Інтегрування найпростіших раціональних дробів

    Розглянемо інтеграли від найпростіших ірраціональних дробів.

1. .

2. .

3. .

    Тут многочлен   не має дійсних коренів , отже . Виділимо повний квадрат

.

    Уведемо підстановку . Тоді . Далі покладемо . Маємо:

.

    Перший із інтегралів правої частині, обчислюється безпосередньо  

.

    Другий інтеграл обчислюється за формулою 4) таблиці основних інтегралів.

36.  .

Увівши підстановку , одержимо . Покладемо . Тоді

.

Перший із інтегралів правої частини легко зводиться до інтегралу 1) таблиці основних інтегралів, а другий інтеграл

 обчислюється за рекурентною формулою

.

ЛЕКЦІЯ 25

37. Інтегрування ірраціональних функцій.

38. Інтегрування деяких тригонометричних функцій.

Інтегрування ірраціональних функцій

Інтеграл від ірраціональної функції не завжди обчислюється в

скінченному вигляді. Проте деякі типи таких інтегралів за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.

    Позначимо  раціональну функцію від змінних . Наприклад, функція  є раціональною від , тобто

.

    Інтеграли виду ,

де  - натуральні числа,  - дійсні числа, причому  (у іншому випадку  - стала величина) обчислюється за допомогою введення нової змінної

,

де k - спільний знаменник дробів  .

Приклад 1.Обчислити .

Розв’язування. Зробимо підстановку . Одержимо

.

Далі маємо

.

Приклад 2.Обчислити .

Розв’язування.

.

    Інтеграли виду  зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.

    Якщо , то вводиться нова змінна t :

,

де знаки можна брати у будь-якій послідовності.

    Якщо у тричлені , то можна використати іншу підстановку

.

    У випадку коли   і тричлен має дійсні різні корені   й , то використовується підстановка

або

.

    Зазначимо, що підстановки Ейлера часто приводять до досить складних раціональних функцій, а тому на практиці при обчисленні інтегралів цього типу користуються простішими методами.