Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків

При дослідженні функцій і побудові їх графіків може бути застосована, наприклад, наступна схема:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки розриву та визначити їх тип.

3. Знайти асимптоти графіка функцій.

4. Знайти похідну функції і за її допомогою встановити інтервали зростання і спадання функції.

5. Знайти точки максимуму і мінімуму функції, а також максимальне й мінімальне значення функції.

6. Знайти другу похідну і за її допомогою визначити інтервали опуклості й точки перегину графіка функції.

7. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

8. Враховуючи одержані результати, побудувати графік функції.

Приклад. Дослідити функцію  і побудувати її графік.

Розв'язування. 

1. Область визначення функції є об'єднання інтервалів .

2. Оскільки функція не визначена в точці , то з'ясуємо поведінку функції в околі цієї точки.

.

У точці  функція має розрив другого роду.

3. Пряма  є вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти.

Пряма  є похилою асимптотою.

4. Знайдемо похідну функції, інтервали зростання і спадання

.

Похідна функції рівна нулю в точках  і . У точці  похідна невизначена. В інтервалі  похідна додана, функція зростає; в інтервалах  і  похідна від'ємна, функція спадає; в інтервалі  похідна додана, функція зростає.

5. Точка  є точкою максимуму, а точка  є точкою мінімуму функції.

6.

.

7. Графік функції перетинає координатні вісі в точці .

8. Схема графіка функції зображена на рисунку 31.

Рис. 31

ТЕМА 7. ІНТЕГРАЛ НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА

ЛЕКЦІЯ 23

28. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла.

29. Основні властивості невизначеного інтеграла.

30. Таблиця основних інтегралів.

31. Безпосереднє інтегрування.

32. Метод підстановки.

33. Інтегрування частинами.