Похідні й диференціали вищих порядків

Похідна  функції   сама є деякою функцією аргументу . Отже, можна ставити питання про існування похідної від функції . Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною. ЇЇ позначають  або . Отже, .

    Приклад. Знайти похідну другого порядку функції .

    Розв'язування.

,

.

    Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається третьою похідною, або похідною третього порядку і т. д.

    Якщо визначена похідна - го порядку функції  , то похідною - го порядку називається перша похідна похідної - го порядку, тобто

.

    Похідні, починаючи з похідної другого порядку, називаються похідними вищих порядків.

    Формули п- них похідних деяких функцій. Нехай маємо функцію  , тоді

Отже, похідну - го порядку функції  можна знайти за формулою

    Аналогічно можна одержати формулу для обчислення - ої похідної функції

    Обчислимо - ну похідну функції .

    Нехай маємо показникову функцію . Послідовно диференціюючи цю функцію, одержуємо

Зокрема,

3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.

    Нехай , де  - функції, які мають похідні будь-якого порядку. Тоді

Праві частини одержаних рівностей подібні на розвинення бінома  Ньютона, але замість показників степенів стоять числа, які визначають порядок похідних. При цьому самі функції  розглядаються як "похідні нульового порядку", тобто  . Враховуючи це, одержуємо

Зауваження. Доведення викладених вище формул похідних проводиться методом математичної індукції.

Диференціали вищих порядків.

Нехай функція  y = f (x)

диференційована в кожній точці  деякого проміжку . Її диференціал першого порядку   dy =f ′(x)dx 

Теореми про середнє значення

Важливе значення у курсі математичного аналізу мають так звані теореми про середнє значення диференціального числення, в яких під знаком похідної знаходиться середнє значення незалежної змінної, котре взагалі нам невідоме. Воно і похідній надає, в деякому розумінні, середнє значення. У зв’язку з цим усі ці теореми називають “теоремами про середнє”.

Теорема Ферма

Теорема. Нехай функція  визначена на інтервалі  і в деякій точці  має найбільше або найменше значення. Тоді, якщо в цій точці існує похідна , то вона рівна нулю, тобто .

Доведення. Нехай для визначеності функція функція   в точці  приймає найбільше значення, тобто   для всіх .

За означенням похідної

,

причому ця границя не залежить від того, як  буде прямувати до . Якщо  і , то , а тому

.

Якщо ж  і , то .

Отже,

.

Звідси випливає, що .

Аналогічно розглядається випадок, коли в точці  функція  досягає найменшого значення.

Обертання в нуль похідної в точці , означає, що дотична до графіка функції  в точці з абсцисою  паралельна вісі (рис. 22).

Зауваження. Теорема Ферма справедлива, коли , і неправильна, коли замість інтервалу  розглядати відрізок . Наприклад, функція  на відрізку  приймає найменше значення в точці , а найбільше в точці . Проте в жодній із цих точок похідна в нуль не обертається.

Теорема Ролля

 Теорема.Якщо функція  визначена на відрізку  і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка .

2) диференційована на інтервалі .

3) на кінцях відрізка  приймає рівні значення ,

то існує точка  така, що .

Доведення. Оскільки функція  неперервна на відрізку , то за другою теоремою Вейєрштрасса існують точки , в яких функція приймає найменше  і найбільше  значення, тобто  і .

Якщо , то функція   на відрізку  приймає постійне значення, оскільки . Тому  в будь-якій точці інтервалу .

Якщо , то принаймні одне із значень  або  функція приймає у деякій точці , тобто на кінцях відрізка ( оскільки ).

Так як функція  диференційована в точці , то за теоремою Ферма .

Із теореми Ролля випливає, що для функції  неперервної на відрізку , диференційованої на інтервалі  і такої, що , існує точка  така, що дотична до графіка функції  у точці  паралельна вісі (рис. 23).

Теорема Лагранжа

 Якщо функція  визначена на відрізку  і вона

1) неперервна в кожній точці відрізка ,

2) диференційована на інтервалі , то існує точка  така, що

.

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

.

Ця функція визначена на відрізку  і задовольняє всім умовам теореми Ролля. Дійсно,

1) оскільки  і  неперервні функції на відрізку , то і функція  також неперервна на .

2) функція  диференційована на інтервалі :

.

3) на кінцях відрізку  функція  має рівні значення

.

За теоремою Ролля існує точка  така, що , тобто

.

Звідси маємо

.

Зауваження. Якщо функція  на відрізку  задовольняє умовам теореми Лагранжа, то із останньої формули одержуємо

.

Ця формула називається формулою скінчених приростів або формулою Лагранжа. Якщо в цій формулі покласти , то одержимо

, де .

Геометричний зміст теореми Лагранжа полягає в наступному. Якщо функція  задовольняє умовам теореми Лагранжа, то існує точка  така, що дотична до графіка функції  у точці  паралельна хорді, проведеній через точки  (рис. 24).