Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину

    Нехай функція  визначена на інтервалі  і в кожній точці цього інтервалу має скінчену похідну. Тоді в кожній точці  графіка цієї функції можна провести дотичну, не паралельну осі . Крива, яка є графіком цієї функції, називається гладкою.

    Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не нижче будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою догори або просто вгнутою на цьому інтервалі. Іноді її ще називають опуклою вниз (рис. 25).

    Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не вище будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою донизу або просто опуклою на цьому інтервалі. Таку криву ще називають опуклою вгору (рис. 26).

    Точка  називається точкою перегину гладкої кривої , якщо існує -окіл точки  такий, що в інтервалах  і  крива  має опуклість різних напрямків (рис. 27).

    У цьому випадку графік функції  в інтервалах  і  лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .

    Теорема. Нехай функція  визначена на інтервалі  і в кожній точці цього інтервалу має похідні до другого порядку включно. Тоді, якщо  у всіх точках , то графік функції  на інтервалі  вгнутий (опуклий вниз), якщо ж  у всіх точках , то графік функції  на інтервалі  опуклий (опуклий вгору).

    Доведення.  в інтервалах  і  лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .

Нехай . Виберемо точку  і покажемо, що графік функції  лежить не нижче дотичної, яка проходить через точку . Щоб відрізняти ординату графіка функції і ординату дотичної, останню будемо позначати буквою . Запишемо рівняння дотичної в точці :

                                                                     (1)

Оскільки функція  має похідні до другого порядку включно, то згідно формули Тейлора (при ) маємо:

                    (2)

де . Віднімемо від рівності (2) рівність (1)

.

Оскільки , то , тобто . Отже, графік функції  у будь-якій, відмінній від , точці  лежить вище дотичної, проведеної до нього в точці з абсцисою .

    Аналогічно доводиться теорема для випадку .

    Установимо необхідну умову існування точки перегину графіка функції . Нехай функція  визначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі . Тоді. Якщо в кожній точці , то графік функції  на інтервалі  вгнутий (опуклий вниз). Якщо , , - то графік опуклий (опуклий вгору).

    Отже, якщо на інтервалі , то графік функції  точок перегину на цьому інтервалі не має. Таким чином, точка , де  може бути точкою перегину графіка функції  лише в тому випадку, коли .

    Отже, умова  є необхідною, для того, щоб точка  була точкою перегину графіка функції .

    Покажемо, що не всяка точка  за умови  є точкою перегину. Розглянемо такий приклад: Нехай . Тоді  при . Але точка не є точкою перегину графіка функції (рис. 28).

    Установимо достатню умову існування точки перегину графіка функції . Нехай точка  така, що   й існує таке , що в інтервалах  і  друга похідна  має різні знаки. Тоді точка  є точкою перегину. Дійсно, за вказаних умов у інтервалах  і  крива  має опуклість різних напрямків. Отже, точка  є точкою перегину цієї кривої.

    Зауваження. Точка  є точкою перегину графіка функції  і в тому випадку, коли в точці  існує дотична до графіка функції , друга похідна в самій точці  не існує, але існує в деякому -околі точки , причому в інтервалах  і  має різні знаки.

    Це установлюється аналогічно попередньому.

    Приклад. Нехай . Ця функція в точці  має нескінченну похідну першого порядку й дотична до її графіка в точці  співпадає з віссю . Друга похідна в точці  не існує. Графік функції  в точці  має перегин, оскільки справа і зліва від точки  друга похідна  має різні знаки (рис. 29).

Асимптоти графіка функції

Пряма  називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки  кривої до прямої  при віддаленні точки  у нескінченність прямує до нуля.

Із наведеного означення випливає, що асимптоти можуть існувати лише у тих кривих, які мають як завгодно віддалені точки, тобто у “нескінчених” кривих.

Надалі розрізнятимемо похилі і вертикальні асимптоти. До похилих асимптот належать також і горизонтальні асимптоти.

Теорема.  Якщо функція  визначена на нескінченості і існують границі

                                  (1)

то пряма  є похилою асимптотою кривої  при .

    Аналогічно, якщо існують границі

                                               (2)

то пряма  є похилою асимптотою кривої  при .

Доведення. Розглянемо випадок . Оскільки за умовою існують границі (1), то . Число  дорівнює довжині відрізка від точки  прямої  до точки  графіка функції  (рис. 30).

    Відстань  від точки  до прямої  рівна , де - кут, який утворює пряма  з додатним напрямом вісі  ( , оскільки мова йде про похилі асимптоти). Отже, = . Тоді

.

    Випадок, коли  доводиться аналогічно.

    Якщо , то пряма  є горизонтальною асимптотою графіка функції  при . Те ж стосується і випадку .

    Зауваження. Якщо не існує границя , то не існує і границя . Отже, у цьому випадку графік функції  при  асимптот не має. Якщо границя  існує і рівна , а границя  не існує, то у цьому випадку графік функції  також асимптот не має.

    Із означення асимптоти кривої  випливає, що пряма   є вертикальною асимптотою, якщо принаймні одна з границь  або  рівна  або .