Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції

Необхідна умова існування локального екстремуму функції. Якщо в точці  функція  має екстремум, то існує окіл  точки , в якому значення  є найбільшим або найменшим. Отже, якщо в точці  функція  диференційована, то згідно теореми Ферма .

    Зазначимо, що коли функція  диференційована в точці  і , то або , тобто функція зростає, або  і функція спадає. Звідси випливає, що функція  може мати екстремум лише в тих точках, у яких її похідна  рівна нулю, або не існує.

    Точки, в яких похідна функції  рівна нулю, називаються стаціонарними. Стаціонарні точки й точки, в яких функція  визначена, але її похідна  не існує називаються критичними.

    Отже, для того, щоб функція  мала в точці  екстремуму, необхідно, щоб ця точка була критичною.

    Достатні умови існування екстремуму функції.

    Теорема. Нехай  - критична точка функції ,  неперервна в точці  і має похідну  в усіх точках околу  за виключенням, можливо самої точки . Тоді

1) якщо  і , то точка  є точкою максимуму функції .

2) якщо  і , то точка  є точкою мінімуму функції .

3) Якщо  в околі  має один і той же знак, то  не є точкою екстремуму функції .

Доведення. 1). Нехай  і . Звідси за ознаками монотонності функції маємо: якщо  і . Отже, для будь-якого  із околу  виконується нерівність , тобто точка  є точкою максимуму функції .

    Доведення пунктів 2), 3) аналогічні.

    Із сказаного випливає правило дослідження функції на екстремум. Щоб дослідити функцію  на екстремум треба:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти  - першу похідну функції .

3. Розв’язати рівняння  та визначити ті значення , при яких  або  не існує. Нехай після виконання цих дій одержано точки , які знаходяться в інтервалі  області визначення функції .

4. У кожному з інтервалів  взяти довільну точку і визначити в ній знак першої похідної. Який знак матиме похідна у вибраній точці, такий же знак вона матиме й у відповідному інтервалі.

5. Розглянути знак  у сусідніх інтервалах, переходячи послідовно зліва направо від першого інтервалу до останнього. Якщо при цьому знаки  у двох сусідніх інтервалах різні. То в критичній точці є екстремум: максимум, якщо знак змінюється з “+” на “-“, мінімум, якщо знак змінюється з “-“ на “+”. Якщо ж у двох сусідніх інтервалах знак першої похідної не змінюється. То екстремуму у відповідній критичній точці немає.

Приклад. Дослідити наекстремум функцію

.

Розв’язування. 

1. Функція визначена в інтервалі .

2. .

3. Розв’язками рівняння  є .

4. В інтервалі , функція спадає; в інтервалі , функція зростає; інтервалі , функція спадає; в інтервалі , функція зростає.

5. Точки  є точками мінімуму, а точка  є точкою максимуму даної функції.

6. .

Для знаходження екстремумів функції  можна застосовувати другу похідну . Це випливає із наступної теореми.

Теорема . Нехай  - стаціонарна точка функції  і в цій точці існує похідна другого порядку . Тоді, якщо , то точка   є точкою мінімуму функції , а якщо , то – максимуму.

Доведення. Згідно з умовою теореми . Нехай . Тоді похідна  в точці  є зростаючою функцією, а тому існує окіл  точки  такий, що  і . Оскільки , то  і , тобто при переході через точку  похідна  змінює свій знак з “-“ на “+”. Отже, точка  є точкою мінімуму функції .

Випадок, коли  досліджується аналогічно.

Скориставшись формулою Тейлора, можна довести наступну теорему.

Теорема. Якщо в стаціонарній точці  функції  перша відмінна від нуля похідна  є похідною парного порядку, то точка  є точкою екстремуму функції : точкою мінімуму, якщо  і точкою максимуму, якщо . Якщо ж перша відмінна від нуля похідна  є похідною непарного порядку, то точка  не є точкою екстремуму функції .

4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку

Для знаходження найбільшого й найменшого значення функції , неперервної на відрізку , потрібно знайти всі її локальні екстремуми на цьому відрізку та її значення на кінцях відрізка, тобто . Потім з одержаних значень вибрати найменше й найбільше.

ЛЕКЦІЯ 22

1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину.

2. Асимптоти графіка функції.

3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків.