Формула Тейлора для многочлена.

 Розглянемо многочлен

,

де  - дійсні числа. Продиференціюємо многочлен  раз.

Якщо в наведених формулах покласти , то одержимо

Отже, можна записати

                         (1)

Нехай маємо многочлен  за степенями , де - деяке стале дійсне число, тобто

,

де  - дійсні числа. Поклавши , матимемо

.

Звідси аналогічно до попереднього, одержимо

                 (2)

Формула (1) є окремим випадком ( ) формули (2). Кожну із цих формул називають формулою Тейлора. Формулу (1) інакше називають формулою Маклорена.

Формула Тейлора для довільної функції

    Теорема Тейлора. Нехай функція  в точці  і в деякому її околі має похідні - го порядку. Нехай також  деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка , яка лежить між точками  і , така, що

                 (3)

    Доведення. Позначимо

Покладемо

Покажемо, що існує точка  така, що

.

Зафіксуємо довільну точку  із вказаного околу точки . Для визначеності уважатимемо, що . Нехай - змінна, яка пробігає значення відрізку . Складемо допоміжну функцію

.

Функція  на відрізку  задовольняє всім умовам теореми Ролля:

1)  неперервна на ,

2)  диференційована на ,

( ці властивості функції  випливають із умов, накладених на функцію )

3) на кінцях відрізка  функція  має рівні значення. Дійсно

    Отже, за теоремою Ролля існує точка  така, що . Знайдемо .

    Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то

.

Далі маємо:

.

Звідси одержуємо:

.

Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз  - залишковим членом у формі Лагранжа.

    Оскільки , то , де . Тоді

, де .

    Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді

    При  маємо формулу Лагранжа

    Якщо функція  в околі точки  обмежена, то залишковий член  є нескінченно малою вищого порядку порівняно з  при . Дійсно

.

Отже, залишковий член  можна подати у формі

 при ,

яка називається формою Пеано.

    Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена

.

У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд

де ,

а в формі Пеано

.

    Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2) ; 3) .

    Розв'язування.

1) . Оскільки , то . Отже,

.

2) . Так як , то

Звідси маємо

3) . ;

;

ЛЕКЦІЯ 21

25. Ознака монотонності функції.

26. Екстремальні точки.

27. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції.

4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.

Ознака монотонності функції

Теорема . Якщо функція  диференційована на інтервалі  і  на , то функція  зростає (спадає).

Доведення. Нехай для визначеності . Візьмемо в інтервалі  дві довільні точки  такі, що . На відрізку  функція  задовольняє умовам теореми Лагранжа. Отже, існує точка така, що

.

Звідси випливає, що за умов  і  маємо: , тобто .

    Для випадку  доведення аналогічне.