Механічний та геометричний зміст похідної

    Механічний зміст похідної випливає із задачі про миттєву швидкість, а саме: похідна від пройденого шляху  по часу  дорівнює миттєвій швидкості  в момент часу , тобто

.

    Геометричний зміст похідної розкрито у задачі про дотичну: похідна , якщо вона існує, дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції  в точці з координатами , .

Односторонні похідні

    Використовуючи означення правої і лівої границі, введемо поняття правої і лівої похідної функції  в точці .

    Правою (лівою) похідною функції  в точці  називається права (ліва) границя відношення  при  (за умови, що ця границя існує).

    Права похідна позначається так: , а ліва .

Якщо функція  в точці  має похідну, то вона має як праву, так і ліву похідну і ці похідні рівні між собою. Проте не в кожній точці , у якій існують права і ліва похідні, існує похідна функції. Так, наприклад, функція  в точці  має праву похідну

 і ліву , але похідної в точці  функція  не має, оскільки .

Нескінченні похідні

    Якщо відношення  при  прямує до  або , то це невласне число називається нескінченою похідною.

    Геометричний зміст похідної як кутового коефіцієнта дотичної розповсюджується і на цей випадок. Тут дотична паралельна вісі  (рис. 17, 18, 19).

    Аналогічно установлюється поняття односторонньої нескінченої похідної. У цьому випадку наявність в точці  різних за знаком односторонніх нескінченних похідних забезпечує існування єдиної вертикальної дотичної.

ЛЕКЦІЯ 16

10. Диференційовність функції.

11. Похідні елементарних функцій.

12. Похідна оберненої функції.

Диференційовність функції

Функція   називається диференційованою в точці , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді

                                  ,                                        (1)

де  - деяке число, не залежне від , а  - нескінчено мала функція при , тобто .

    Зв'язок між диференційованістю функції  в точці  і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.

    Теорема. Для того, щоб функція функції  була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.

    Доведення.Необхідність. Нехай функція  диференційована в точці , тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді

.

Звідси випливає, що в точці  існує похідна .

    Достатність. Нехай функція  має в точці  похідну . За означенням похідної маємо . За властивістю границі  є нескінченно малою функцією при . Отже, , тобто , де  - деяке число, а .

    Зауваження. Вираз  не визначений при , а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти .

    Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.

    Теорема . Якщо функція  диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

    Доведення. Так як функція  диференційована в точці , то її приріст в цій точці можна подати у вигляді .

Тоді

.

    Отже, в точці , де функція  диференційована, нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, а це означає, що в точці  функція  неперервна.

    Наслідок. Якщо функція  в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна.

    Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція  неперервна в точці , але в цій точці, як було показано в пункті 1.2. вона не диференційована.