Теорема про неперервність оберненої функції.

Нехай функція  визначена, строго монотонна й неперервна на деякому проміжку , і нехай множина  − множина значень. Тоді на множині  обернена функція  однозначна, строго монотонна та неперервна.

    Доведення. Нехай для визначеності функція  на множині  зростаюча, тобто для довільних , що задовольняють умову , виконується нерівність .

    Однозначність оберненої функції  випливає з того, що, оскільки  зростаюча на , справедлива нерівність  при . Отже, кожному  відповідає єдине значення .

    Покажемо, що обернена функція  на множині  зростаюча. Дійсно, якщо , то , оскільки за умови  виконувалася б умова , що суперечить допущенню .

    Установимо тепер, що функція  на множині  неперервна. Для цього спочатку доведемо наступну лему.

    Лема. Якщо множина значень монотонно зростаючої (спадної) функції , визначеної на деякій множині , знаходиться в деякому проміжку , який вона заповнює весь, то функція  в проміжку  неперервна.

    Щоб це довести, візьмемо точку , котра не є його правим кінцем, і покажемо, що в цій точці функція  неперервна справа. Точка  належить проміжку  і не є його кінцем тому, що є значення  такі, що  і їм відповідають у  значення . Нехай  довільне, але настільки мале число, щоб значення  також належало проміжку . Оскільки за припущенням , то існує таке значення , що , причому ( оскільки при  і ). Покладемо , тобто . Якщо тепер , тобто , то  або .

    Це і означає, що . Тобто функція  неперервна в точці  справа.

    Аналогічно можна встановити неперервність функції  у точці  зліва, якщо  не є лівим кінцем проміжку . Звідси в сукупності буде випливати твердження, що розглядаємо.

Перейдемо до доведення неперервності функції . Оскільки ця функція, як уже встановлено, монотонна і її значення, згідно з умовою, заповнюють увесь проміжок , то відповідно до леми функція  неперервна.

ТЕМА 5. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

ЛЕКЦІЯ 15

5. Задачі, що проводять до поняття похідної.

6. Означення похідної.

7. Механічний та геометричний зміст похідної.

8. Односторонні похідні.

9. Нескінченні похідні.

Задачі, що проводять до поняття похідної

Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка  рухається вздовж прямої. Позначимо відстань точки  до деякої початкової точки  даної прямої в момент часу  через . Тоді в момент часу , де  - приріст часу, точка  буде знаходитися на відстані від точки  рівній . Різницю  назвемо приростом шляху.

Відношення  називається середньою швидкістю руху точки за проміжок часу .

Швидкістю руху точки в момент часу  або миттєвою швидкістю називається границя відношення  при , тобто

.

Приклад. Знайти миттєву швидкість рівномірно прискореного руху матеріальної точки з початковою швидкістю  і прискоренням .

Розв'язування. Залежність шляху  від часу  при рівно прискореному русі виражається формулою . Тоді . Отже,

.

Після спрощення одержуємо

.

Таким чином

.

    Задача про лінійну густину неоднорідного стержня. Нехай треба знайти густину неоднорідного прямолінійного стержня в точці , яка знаходиться на відстані  від початкової точки  (див. рис. 11).

    Позначимо  величину маси відрізка . Візьмемо деяку точку , яка знаходиться на відстані  від початкової точки . Тоді маса відрізка  буде рівною . Отже, маса відрізка , яку ми назвемо приростом маси в точці ,

.

    Відношення  називається середньою густиною стержня на відрізку  і позначається .

    Лінійною густиною стержня в точці  називається границя відношення   при , тобто

.

    Приклад. Нехай маса стержня довжини  задається формулою , де  - сталі числа. Знайти лінійну густину в точці , яка знаходиться на відстані  від початку стержня.

    Розв'язування. Знайдемо приріст маси в точці  

.

Отже,

.

Задача про дотичну до кривої. Дотичною до кривої  в точці  називається пряма , з якою співпадає граничне положення січної  за умови, що точка  по кривій  прямує до точки  (рис. 12).

Візьмемо на кривій  точку . Через точки  проведемо січну. Нехай вона утворює з додатним напрямом осі  кут . Тоді .

Якщо точка  по кривій  наближатиметься до точки , то координати точки  наближатимуться до координат точки , тобто

.

Звідси випливає, що коли точка , то . З іншого боку, якщо , то за неперервністю функції  маємо: , тобто  і при цьому . Таким чином

.

Розглянуті задачі різні за своїм змістом, але вони відрізняються одним і тим способом, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через , а залежну змінну – через , то для знаходження розв'язку кожної із них потрібно знаходити границю відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто

.

Означення похідної

Нехай в деякому проміжку  визначена функція . Виберемо довільну точку  і надамо  приросту  такого, що .

    Зазначимо, що  може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст . Нехай в точці  існує границя .

    Похідною функції  в точці  називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.

    Похідну функції  в точці  позначають так:  або . Отже, за означенням

.

    Якщо функція  має похідну в кожній точці , то похідна є функцією від  і в цьому випадку позначається так:  або .