Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.

 Якщо функція  неперервна на відрізку , то вона і рівномірно неперервна на цьому відрізку.

Доведення. Нехай для деякого визначеного числа  не існує такого числа , про яке йде мова в означенні рівномірної неперервності. У такому випадку для будь-якого числа  знайдуться такі два значення , що , але .

Візьмемо послідовність  додатних чисел, збіжну до нуля, . Для кожного  знайдуться в  значення  такі, що , але . Оскільки кожне  належить відрізку , то послідовність , про яку йде мова, обмежена. Отже, із неї можна вибрати підпослідовність, збіжну до деякої точки , яка належить відрізку . Для спрощення позначень будемо вважати, що сама послідовність збігається до . Оскільки , то і . Отже, послідовність  також збігається до . Тоді за неперервністю функції  на відрізку  й із того, що , випливає:   і .

    Звідси маємо , що суперечить тому, що за припущенням   для всіх значень .

    Звернемо увагу на те, що наведена теорема не виконується, якщо замість відрізка  узяти інтервал  чи один із півінтервалів .

    Приклад. Функція   неперервна на інтервалі , але вона не є на цьому інтервалі рівномірно неперервною. Дійсно, нехай  фіксоване. Тоді б яке  ми не взяли, завжди знайдуться точки , достатньо близькі до нуля, і такі, що , але .

    Наслідок. Нехай функція  визначена та неперервна на відрізку . Тоді за заданим  знайдеться таке , що при розбитті відрізка  на частинні відрізки, які не мають спільних точок або мають єдину спільну точку і довжини яких менші від , коливання функції  на кожному із частинних відрізків буде меншим від .