Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.

Пусть  не является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля. Тогда функцией Грина называется:

,

где  удовлетворяет однородному уравнению  (1одн.) .

 (то есть  удовлетворяет левому граничному условию),

 (то есть  удовлетворяет правому граничному условию),

 – определитель Вронского.

       Свойства функции Грина.

1)    вещественна и непрерывна на ,

 в замкнутых треугольниках

 и

2)    (симметричность)

3)     (удовлетворяет однородному уравнению (1одн.))

4)    ,  (условие скачка производно по диагонали)

5)    (удовлетворяет краевым условиям (2))

При этом решение краевой задачи (1), (2) равно

.