Дифференцируемости решения системы ОДУ по начальным данным и параметру.

Теорема:
       Пусть  – область в .  – отрезок, а отображение  непрерывно, ,  и  так же непрерывны на , . Далее пусть  – решение задачи Коши:

,

определенное на . Функции , , , при некотором . Причем , , .

Теперь  Существует единственное решение задачи Коши:

,

определенное так же на , причем , дифференцируема по  при  и , удовлетворяет условию

 (5).

 (6)

Замечание: Формулы (5) и (6) получаются формальным дифференцированием по , подстановкой  и дифференцированием по  тождества

Доказательство:

◄ По теореме о непрерывном решении по начальным данным и параметру существует единственное решение  задачи (3), (4), определенное на , при достаточно малых  (то есть при ). Далее

,

где  непрерывна при .

Положим

,

тогда  является решением задачи Коши

,

функция ,

Далее . По теореме о непрерывности по начальным данным и параметру , где  – решение задачи

 и  – удовлетворяет условиям (5), (6).

Теорема доказана. ►

Замечание: Все сказанное справедливо при  близких к нулю, а не только при , то есть  удовлетворяет уравнению

.

Это уравнение называется уравнением в вариациях.

Следствие 1: Пусть в предыдущей теореме  и , тогда  удовлетворяет условиям

Следствие 2: Пусть в предыдущей теореме  и , тогда  удовлетворяет условиям

 − матрица Якоби и удовлетворяет условиям

то есть  – резольвента линейной системы .

Следствие 3: Пусть в предыдущей теореме  и , тогда  удовлетворяет условиям

Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.

Рассмотрим систему

 (1).

Будем предполагать, что  и  непрерывны в области  ( может не существовать).

def: Соотношение  называется первым интегралом системы (1) в области G, если выполняется 3 условия:

1)

2)  ни в какой окрестности произвольной точки из G.

3) Если  – решение системы (1), то  (те есть  на графике решения системы(1))

def: Система первых интегралов системы (1)  называется полной в некоторой области G, если  (Якобиан) в каждой точке из G.

Теорема:

Полная система первых интегралов системы (1) задает решение системы (1) (локально).

Доказательство:

◄ Пусть  – произвольная точка из G, тогда соотношения  определяют неявно единственную функцию  в окрестности точки , удовлетворяющую условию . По теореме о неявной функции (эту теорему можно применить, так как  и )  в окрестности точки . С другой стороны, по теореме о  решения задачи Коши, существует единственное решение  системы (1), удовлетворяющее начальному условию  ( – локально удовлетворяет условию Липшица по , так как по предположению  непрерывна на G). В силу условия 3), для первых интегралов все функции . В силу единственности неявной функции будет  в окрестности точки . ►