Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.

Теорема:

Рассмотрим систему  (1). Пусть A – постоянная матрица с действительными коэффициентами, размера . А  – n-мерная действительная вектор-функция, непрерывная по y в полуцилиндре: , причем  – не зависит от x, где  при .

Далее, пусть , где  – собственное значение матрицы A  (некоторые могут совпадать), . Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство:

◄ Мы сведем эту теорему к проверке выполнимости условия леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

По лемме: существует матрица T  с условием : матрица  будет иметь вид:

,

где  – собственное значение матрицы A  (некоторые могут совпадать), а

(a – из условия теоремы). Положим , подставим в (1):

 (2).

Положим: , . Выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости:

1)  – верно,

2) , ,

Осталось проверить условие:

       3) .

Заметим, что

1) ,

2) , .

Проверку условия 3) проведем в 3 этапа.

Сделаем некоторые оценки.

Пусть

, ,

тогда

Аналогично .

 (3)

Запишем подробно систему (2):

Пусть  – решение системы (1), а  – решение системы (2), тогда

Оценим каждое .

.

.

при достаточно малых , так как  при  (то есть , ).

Возьмем произвольную точку  из полуцилиндра , поскольку через эту точку проходят интегральная линия  (по теореме о  решения задачи Коши), то в этой точке будет

+  = ,

.

То есть выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Следовательно нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. ►

Лемма Адамара.

Лемма:

       Пусть  – выпуклая область в  (то есть  отрезок, соединяющий  и ).

 – метрическое пространство, а функции  и ,  непрерывны на .

Тогда , , где  непрерывна на , .

Доказательство:

◄ По формуле Ньютона-Лейбница

= =

 = .

Непрерывность  вытекает из непрерывность интеграла по параметру (по теореме из математического анализа). ►

Замечание 1:  (надо подставить  вместо )

Замечание 2: Если  имеет непрерывные смешанные производные по  до порядка  включительно и эти производные непрерывны на ,  имеет непрерывную смешанную производную по  и  ( ) до порядка  включительно и эти производные непрерывны на . Это следует из свойств интеграла (по теореме из математического анализа).