Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧП первого порядка в случае пространственных переменных.

Рассмотрим УрЧП

 (1),

где  − функции класса  от  в окрестности кривой

, ,

причем  в этой окрестности.

Задача Коши состоит в нахождении поверхности  класса , удовлетворяющей УрЧП (1) и содержащую кривую

Теорема:

       1) Пусть  − функции класса  от  определенные в окрестности

       2)

       3)

       4) , где

Тогда существует окрестность кривой  вида

(окрестности в плоскости ) и единственная функция  класса , определенная в этой окрестности, являющаяся решением задачи Коши, определенной выше.

Доказательство:

◄ Идея доказательства состоит в том, что через каждую точку  проведем характеристику и покажем, что получилась поверхность класса . Тогда по второй лемме о характеристиках эта поверхность будет интегральной для УрЧП (1).

1) Продолжим  на интервал  при достаточно малом  так, чтобы продолжение функции  (например линейным образом)

Считаем, что  лежит в области определения  и  при

2) Через каждую точку  проведем характеристику УрЧП (1) , , причем , , для некоторой точки . Положим:

3) По теореме о непрерывности и непрерывной дифференцируемости по начальным данным получим, что  определено и

принадлежит  на . Поскольку

 по условию 4),

где , ,  (можно считать, что  настолько мало, что это выполняется ) в силу следствия 1 из теоремы о дифференцируемости по начальным данным и параметру

то теореме об обратной функции (можно считать, что  при  ( ), то есть можно выбрать  достаточно малым).

 − открытая окрестность точки  на плоскости  и  − диффеоморфизм класса , так как  инъективно и  также .

4) Поскольку  − компакт в  и , а  открыто в , то

Положим

Очевидно, что .

5. Докажем, что , ,  инъективно.

Допустим, что это не так. Тогда , , . По теореме Больцано-Вейерштрассе  и , Так как  непрерывна, то . По условию 3 теоремы  (обозначение). Поскольку  при некотором ,  открыто в  и  взаимно-однозначно, то  при достаточно больших , а это противоречит выбору  и  Противоречие! Итак :  − диффеоморфизм класса  и  − открытая окрестность .

6) Построим решение УрЧП (1) следующим образом: пусть . Положим  и  (см. 2)). Тогда , так как  по  и , а  по построению, . Итак, .

По второй лемме о характеристиках  − решение УрЧП (1), причем  с поверхности .

7) Единственность. Путь  − так же решение УрЧП (1) в  и  с поверхности . Пусть . Положим  и допустим, что . Проведем через  характеристику . По первой лемме о характеристиках

(Если , и , то  может  так как  зависит от продолжения  на , а это продолжение не единственно) ►

Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.

, , (1)

 (2)

Область определения оператора Штурма-Лиувилля:

 это оператор Штурма-Лиувилля.

def: Функция  называется собственной функцией оператора Штурма-Лиувилля, отвечающей собственному значению , если

1)

2)

3) .

       Лемма о нулевом собственном значении оператора Штурма-Лиувилля.

Лемма:

       Число  является собственным значением оператора Штурма-Лиувилля . При этом  является собственной функцией оператора Штурма-Лиувилля, отвечающей собственному значению .

Доказательство:

◄ ( ) Пусть  − собственное значение и  − соответствующая собственная функция. Тогда

Так как , то

.

(Если , например , то , так как )

Аналогично

( ) Пусть , , . Положим , тогда , , так как  и  ►