Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.

Рассмотрим систему:

 (1).

Будем предполагать, что

1)  решение  системы (1) на участке , при условии ;

2) , ,  решение  на участке , удовлетворяющее начальному условию .

def: Решение  системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если , , , . Другими словами, устойчивость по Ляпунову – это непрерывная зависимость решения от изначально данного , равномерная на луче .

def: Решение  системы (1) называется асимптотически устойчивым, если:

1) Оно устойчиво по Ляпунову;

2) , :  при .

Пример 1:

 – маятник без трения. Нулевое решение устойчиво, но не асимптотически устойчиво: .

Пример 2:

 – маятник с трением.

Это затухающие колебания, нулевое решение асимптотически устойчиво.

Замечание: Исследовать устойчивость (асимптотическую) решения  системы  можно свести к исследованию устойчивости (асимптотической) нулевого решения некоторой другой системы.

Положим: ,

тогда . В дальнейшем будем исследовать устойчивость (асимптотическую) только нулевого решения.

       Лемма Ляпунова об устойчивости.

Пусть функция  – непрерывна по x и локально удовлетворяет условию Липшица по y, . Далее пусть  удовлетворяет следующим условиям:

1) ;

2) ;

3)

Тогда нулевое решение системы  (1) устойчиво по Ляпунову.

Доказательство:

◄ Фиксируем  тогда  в силу 2). Поскольку  непрерывна в точке 0 и , то .Покажем, что это  искомое, то есть , где  – решение системы (1) с начальным условием . Допустим, что это не так, то есть . Положим , тогда  в силу 3). То есть  не возрастает (по теореме Лагранжа). С другой стороны  – противоречие ►

Замечание: Функция  называется функцией Ляпунова для системы (1)

Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.

Пусть выполнены условия леммы Ляпунова об устойчивости. Далее пусть

 удовлетворяет следующим условиям:

1) ;

2) ;

3) .

Тогда нулевое решение асимптотически устойчиво.

Доказательство:

◄ Сначала докажем усиленный вариант леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости.

Усиленный вариант.

Пусть выполняется условие леммы Ляпунова об устойчивости. Далее пусть существует семейство непрерывных функций  удовлетворяет следующим условиям:

1)

2) , .

Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство:

◄ Фиксируем , , тогда  (как и в доказательстве предыдущей леммы).

Пусть  и . Покажем, что , при , где  – решение системы (1) с начальным условием .

Как было показано в доказательстве предыдущей леммы функция  не возрастает, заметим, что , так как . По теореме из анализа . Покажем, что . Допустим  тогда в силу непрерывности функции  и условия . В этом случае  (если бы  для некоторого ,то , а у нас , то есть ).  (условие 2) для семейства ).

Так как  Формула Ньютона-Лейбница.

 (условие 1)) , при , а у нас  и  противоречие . То есть , при . Покажем, что , при . Допустим, что это не так, тогда ,  в этом случае . А у нас доказано, что  при . Усиленный вариант доказан. ►

Перейдем к доказательству леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости (в качестве следствия).

Достаточно положить . Очевидно, что:

1)

2) Если  то .  

, а тогда можно применить усиленный вариант. ►

Лемма по приведению матрицы к жордановой форме с ε вместо 1 под диагональю.

Пусть B – матрица, имеющая жорданову форму, то есть:

Тогда  существует матрица  такая, что

Докажем это для одной клетки.

Доказательство:

◄ Известно, что замена переменной  переводит систему  в систему . Построим  для одной клетки:

Положим

.

Подставим это в систему :

Лемма доказана. ►