Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.

II случай:  (случай не нормализуемой системы).

Заметим, что  +младшие степени p.

Распишем:

столбцы линейно зависимы. Можно считать после перенумерования, что линейно зависимы первые k столбцов , причем , ; . Сделаем замену неизвестных функций:

                   – можно дифференцировать  раз

– можно дифференцировать  раза

…

– можно дифференцировать  раза

             – можно дифференцировать  раз

…

                  – можно дифференцировать  раз.

При такой замене гладкость не изменилась. Обратная замена:

В матричной форме: , где

подставим в систему (1):

Здесь .

Определитель не изменился. Покажем, что порядок системы понизился, то есть . Запишем i-е уравнение новой системы:

,

итак, в новой системе

, то есть порядок системы понижен.

Если полученная система оказалась нормализуемая, то для этой новой системы гладкость решения обоснована, а тогда она обоснована для решения “старой” системы. Если же новая система также не нормализуема, то повторяем для нее предыдущие рассуждения. Получим систему, в которой , а . За конечное число шагов получим нормализуемую систему (если ).

Замечание 1: В общем решении системы (1) произвольных постоянных столько, какова степень  при .

Пример:

 нет констант.

Замечание 2: Если , то система может иметь бесконечно много решений, а так же может не иметь ни одного решения.

Пример:

 если , то  может быть любой функцией класса , а . Если , то система не имеет ни одного решения.

Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения

 (1)

(рассмотрим только однородные системы)

, .

Из алгебры известно, что  – матрица , , так же, что  имеет жорданову форму:

Сделаем замену неизвестных функций  и подставим в систему (1) , . Система распалась на несколько независимых систем (их стало столько, сколько жордановых клеток в матрице B). Будем исследовать одну клетку, например , причем пусть ее порядок  равен максимальному порядку всех клеток, отвечающих . Запишем систему для данной клетки:

 (2).

Положим  и подставим в (2):

 (3),

где .

Итак, если матрица T известна, то общее решение системы (1) равно сумме (для всех клеток) выражений типа (3). Обычно матрицу T трудно найти. Для получения общего решения системы (1) используем формулу (3), где  – неизвестные n-мерные векторы.

Подставим y из (3) в (1):

 (4).

Эта система похожа на систему (2), то есть неизвестных  и уравнений так же . В общем решении этой системы  свободных неизвестных, где  – кратность корня  характеристического уравнения . Если число  неизвестно, то в системе (4) можно вместо  подставить , где  – число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственному значению . Если же и  неизвестно, то в системе (4) вместо  можно взять . При этом число свободных неизвестных не изменится и останется равным . Для построения общего решения системы (1) нужно обозначить эти свободные неизвестные через , затем аналогично рассмотреть остальные корни  кратностей  и сложить выражения типа (3) для всех корней.