Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай нормализуемой системы.

 (1),

где ,  – многочлен от p с постоянными коэффициентами из C. Положим ,  – порядок системы (формальный).

,

 – алгебраическое дополнение элемента  в матрице .  – (дифференциальный оператор, а не число). “Умножим” i-ое уравнение из (1) на  слева и просуммируем по i, от 1 до n. (Если умножать элементы столбца матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов того же столбца, то получим определитель матрицы, а если умножать на алгебраические дополнения другого столбца, то получим 0, на этом принципе построена обратная матрица.)

В итоге получим: (2) , . (В дальнейшем будет обосновано, что такое “умножение” возможно при достаточно гладких ).

Система (2) распадается на n независимых ОДУ, отличающихся только правыми частями. Заметим, что каждое (достаточно гладкое) решение системы (1) (или (1одн.)) является решением системы (2) (или (2одн.)), но не наоборот. Из прошлого семестра заключаем, что общее решение системы (2одн.) имеет вид:  (3), где  – корни характеристического уравнения , кратности , а  – векторный многочлен, каждая компонента которого является многочленом степени . Для нахождения общего решения системы (1одн.) можно было бы подставить  из (3) в (1одн.), найти соотношение между коэффициентами многочленов , выразить базисные неизвестные через свободные и обозначить эти свободные через . Однако это слишком сложно. Для упрощения докажем лемму.

Лемма:

       Пусть  – решение системы (1одн.) (как показано выше,  охватывается формулой (3)). Тогда каждое слагаемое в записи (3) также является решением системы (1одн.) (то есть можно привести предыдущие рассмотрения для каждой  в отдельности, что значительно проще).

Доказательство:

◄ Подставим  в (1одн.): . Поскольку все функции  линейно независимы при различных k и различных  (“ФСР в случае кратных корней” – из прошлого семестра), то все коэффициенты всех многочленов в этом соотношении равны нулю. То есть

 – решение системы (1одн.). ►

Таким образом, общая схема решения системы (1одн.) изложена. Осталось ее обосновать. Для этого положим: + младшие степени p, некоторые  могут равняться нулю.

,  

.

Рассмотрим два случая:

I случай: (случай нормализуемой системы).

, тогда система (1) примет вид:

Поскольку , то эту систему можно разрешить относительно , то есть .

Эта система каноническая и, следовательно, может быть сведена к нормальной (отсюда название “нормализуемая” система). ( – замечание о гладкости решения из прошлого семестра). Так же как и в прошлом семестре в этой системе можно показать, что если , то , в частности, если , то .