Линейные однородные УрЧП первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы ОДУ. Замечание о квазилинейных уравнениях.

Рассмотрим систему ОДУ

 (1).

В прежних предположениях ( и  непрерывны на ).

Пусть  − первый интеграл системы (1), тогда

.

Поскольку через каждую точку из  проходит график решения, то всюду в  будет:

 (2)

это линейное однородное УрЧП первого порядка относительно функции .

       Обратное утверждение

Пусть ,  ни в какой окрестности произвольной точки из  и  удовлетворяет УрЧП (2). Тогда соотношение  является первым интегралом системы (1)

Доказательство:

◄ Надо проверить только условие 3).

Пусть  − решение системы (1), тогда

,

,

так как  − решение УрЧП (2)  ►

Лемма:

 − первые интегралы системы (1) в области , а  − производная функция класса  с соответствующей областью определения. Тогда  − решение УрЧП (2).

Доказательство:

◄ Подставим это  в (2). Имеем

= ,

так как  удовлетворяет условию (2) (мы с этого начинали) ►

Теорема:

       Общее решение УрЧП (2) имеет вид

 (3),

где  − полная система первых интегралов системы (1), а  − произвольная функция класса  с соответствующей областью определения (локально).

Доказательство:

◄ Если  определяется по формуле (3), то  − решение УрЧП (2) (по лемме).

Обратно: Пусть  − произвольное решение УрЧП (2). Покажем, что оно представимо по формуле (3). Имеем

при фиксированном  эта алгебраическая система имеет ненулевое решение . Следовательно ее определитель

.

В силу полноты системы первых интегралов

 всюду в  

следовательно .

По теореме о ранге, существует такая функция

:  (локально) ►

Итак, для нахождения общего решения УрЧП (2) находят полную систему первых интегралов соответствующей систем ОДУ (1) . И записывают общее решение УрЧП (2) по формуле (3), то есть , где  − произвольная функция  с соответствующей областью определения.

       Симметричная форма линейных однородных УрЧП первого порядка

Рассмотрим УрЧП

, (4)

где  − функции класса , причем . Допустим, что  в некоторой окрестности. Разделим на :

 − это УрЧП вида (2)

(Роль x играет , роль  играет , …, роль  играет ). Соответствующая система ОДУ имеет вид:

 или  (5)

( уравнение) в симметричной форме.

Как показано раньше, для нахождения общего решения УрЧП (4) надо найти полную систему первых интегралов системы (5):

и записать общее решение в виде

,

где  − произвольная функция класса  с соответствующей областью определения.

       Замечание о квазилинейных уравнениях

Рассмотрим УрЧП

 (6),

где  − функция класса  от .

УрЧП (6) − квазилинейное УрЧП первого порядка, оно линейно по , причем . Будем искать решение УрЧП (6) в неявной форме

 (7),

где  − функция класса , причем  всюду в рассматриваемой области.

Получим уравнение для .

Пусть  − решение УрЧП (6), подставим это  в (7) и продифференцируем по :

, ( ) .

Подставим это в (6) и умножим на , получим

Это УрЧП вида (4) для . Поэтому (см. выше) для нахождения общего решения УрЧП (6) находят полную систему первых интегралов соответствующей системы ОДУ уравнений.

То есть

и записывают общее решение УрЧП (6) в виде (7)

,

 − произвольная функция класса с соответствующей областью определения, причем