Резольвента линейной системы ОДУ и ее свойства.

def: Резольвентой системы (2) называют отображение  – множество невырожденных матриц порядка n, удовлетворяющих следующим условиям:

1)  – ФМР системы (2),

2) .

Свойства:

1°  – следует из определения.

2° Пусть  – решение системы (2) с начальными условием , тогда .

Доказательство:

◄ Имеем

 – решение системы (2),

причем . По теореме о единственности задачи Коши  на . ►

3°  (полугрупповое свойство)

Доказательство:

◄ Пусть  – произвольный вектор из , тогда  – значение в точке  того решения системы (2), которое в точке  равно  (свойство 2°).  – значения точки x того решения, которое в  равно  (свойство 2°), то есть того решения (в силу существования единственности), которое в точке  равно .  – значение в точке x того решения, которое в точке  равно , в силу произвольного  получаем требуемое. ►

4° . Это следует из 3°, так как  (свойство 3°). Слева аналогично.

5°

Доказательство:

◄  =  =  =  ►

Построение линейной, однородной системы по известной ФСР. Формула Лиувилля.

Теорема:

       Пусть  – произвольные n-мерные векторы-функции класса , причем , тогда  система вида (2), для которой  являются ФСР.

Доказательство:

◄ Рассмотрим систему

, .

Это система вида (2) (надо разложить по первому столбцу)

,

где  – известные непрерывные функции на . Заметим, что  – решение этой системы (так как при подстановке  вместо y получаем два одинаковых столбца).►

Единственность.

Пусть  – ФМР системы  и . Тогда

.

Умножаем справа на  ( – существует, так как ). Получим, что  на .

Формула Лиувиля.

Пусть  – ФСР системы (2), тогда , где

 = = ,

так как при  получаем две одинаковые строки  

 – Формула Лиувиля.

Нахождение частного решения линейной неоднородной системы ОДУ методом вариации постоянных. Формула Коши.

Рассмотрим систему:

 (1)

 (2) – собственная однородная система.

Будем искать частное решение системы (1) в виде:

 (3)

,

где  – ФСР собственной однородной системы (2), а  – функции класса . Подставим y из (3) в (1):

( – существует, так как , )

 = .

Итак, решение задачи Коши  имеет вид: