Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.

 (1)

 (2) – соответствующая однородная система.

Будем предполагать, что матрица  и  непрерывны на  со значениями в С.

def: Система векторов  на  называется линейно зависимыми на , если существуют такие числа ,  такие, что .

def: Система векторов-функций  на  называется линейно независимой на , если из условия  на  следует, что .

def: Пусть  – n - мерный вектор функции на . Выражение:

называется определителем Вронского для векторной функции .

Теорема 1:

       Пусть  линейно зависимы на , тогда .

Доказательство:

◄ По условию , ,  столбцы  линейно зависимы  ►

Замечание: Обратное не верно.

Пример: , тогда  и  линейно независимы на . Действительно пусть  и  линейно независимы на , однако  на .

Теорема 2:

       Пусть  – решение системы  (2) и существует точка  такая, что , тогда  линейно зависимы на  и следовательно по Теореме 1  на .

Доказательство:

◄ Поскольку , то столбцы  линейно зависимы, то есть , , . Положим , тогда  – решение системы (2) в силу ее линейности и однородности. Далее  по построению заметим, что  так же решение системы (2) с теми же начальными условиями. По теореме о единственности решения задачи Коши  линейно зависимы на . ►

Следствие: Пусть  – решение системы (2) и , тогда .

Доказательство:

◄ Допустим, что это не так, то есть . По Теореме 2 тогда , а это противоречит условию. ►

Фундаментальная система решений (ФСР) для линейной однородной системы ОДУ. Существование ФСР и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.

def: Линейно независимая система решений  системы (2) называется фундаментальной системой решений (ФСР) системы (2), а матрица

называется фундаментальной матрицей решений (ФМР) системы (2).

Теорема:

       ФСР системы (2) существуют. Их бесконечно много. Все они могут быть получены из одной по формуле , где  – фиксированная ФМР, а S – матрица , с условием .

Доказательство:

◄ Фиксируем произвольную точку . Пусть B – матрица  с условием , тогда по теореме о  решения задачи Коши  решение  системы (2) ( (2)), удовлетворяющее начальным условиям . В этом случае  – ФСР, так как , поскольку матриц B с условием  бесконечно много, то и ФСР бесконечно много. Пусть теперь  – фиксированная ФМР, а  – произвольная ФМР системы (2). Положим , тогда

,

то есть  – матрица из решений системы (2), причем

= = = .

По теореме о единственности решения задачи Коши (для каждого столбца) получим  на  ►

Теорема:

       Общее решение системы (2) имеет вид  (3), где  – ФСР системы (2), а  – произвольные постоянные (из C).

Доказательство:

◄ ( )  из формулы (3) является решением системы (2) в силу ее линейности и однородности.

( ) Пусть  – произвольное решение системы (2), а  – ФСР системы (2). Фиксируем точку  тогда система относительно :

имеет единственное решение , то есть ее определитель равен . Положим , тогда  – решение системы (2) в силу ее линейности и однородности, причем  по построению. По теореме о единственности решения задачи Коши  на , то есть . ►

Теорема:

Общее решение неоднородной линейной системы (1)  имеет вид:

,

где  – частное решение системы (1),  – ФСР, соответствующая однородной системе (2), а  – произвольные постоянные. Это следует из теории линейных пространств и предыдущей теоремы.