Лемма о равномерной непрерывности.

def: Метрическое пространство называется компактом, если из каждого покрытия его открытыми множествами (открытое покрытие) можно выделить конечное подпокрытие.

Лемма:

       Пусть  – метрические пространства,  – метрический компакт, а  – непрерывно на всем , тогда  – непрерывно по  и эта непрерывность равномерна по , то есть  и , что ,  выполняется неравенство (то есть  не зависит от k).

Доказательство:

◄ Выберем произвольно  и . Надо найти . В силу непрерывности  в точке  имеем . Используя аксиому выбора можно считать, что задана функция  на всем К. Заметим: , где  – открытый шар в К, с центром в точке k, радиуса . В силу компактности К, имеем : . Положим , тогда , покажем, что это  – искомое.

Пусть , , , тогда , , то есть . Имеем:

+ .

Так как:

 – для первого слагаемого,

 – для второго слагаемого. ►

Непрерывность решения системы ОДУ по начальным данным и параметру.

Теорема:

       Пусть  – метрическое пространство,  – открытое множество в , функция  – непрерывна на , ограничена , удовлетворяет условию Липшица по у. Далее: пусть  – решение задачи Коши: , при ,  и , определенное на . Тогда , что  = ! решение  задачи (1), (2), определенное на всем , причем  – непрерывно по , и эта непрерывность равномерна по , то есть , , ,

Доказательство:

◄ 1) , , , .

Допустим, что это не так. Тогда , , ,  точка , .

По теореме Больцано-Вейерштрассе: . Заметим, что

,

так как  непрерывна в точке . В этом случае , так как ,  определена по условию на всем , то есть  и точку  можно считать аргументом  (то есть можно подставлять в уравнение (1)).

Поскольку  определено на , то его можно подставить в (1)  – имеет смысл . В силу открытости D, точка , при достаточно больших k, а это противоречит выбору точек .

2) , , :  &  это следует из открытости множества, непрерывности  в точке  и условия . Выберем , .

Пусть , тогда точка  в силу 2) и существует единственное решение  задачи Коши (1), (2), определенное в окрестности точки h. Заметим так же, что  определена в окрестности точки h (поскольку , D – открыто и  – непрерывна в точке h).

Сделаем оценки:

= + , =

и вычитаем из одного другое:

+ + + + + +

(заметим, что определено при всех  и );  непрерывна по , ; по лемме о равномерной непрерывности:  при  равномерно по , а тогда  при )

(По замечанию к лемме Гронуолла)

(не зависит от x и при достаточно малых ).

Продолжим  вплоть до границы трубки

В силу  график продолженного решения  выйдет на границу  только при  и .

Из первой части  следует, что  непрерывно по  в точке , равномерно по . Проводя для  те же рассуждения, что и для , получим, что  непрерывно по , равномерно по  в окрестности точки , а не только в самой точке . ►