Производная постоянной величины

Производная постоянной величины (рис. 1), т. е. функции , была рассмотрена в примере 1 (см. л. 6, ч. 2). Напомним, что приращение функции , следовательно, , т. е. . Другими словами, угол между прямой  и осью  равен , т. е. прямая || .

Следствие!

Производная произведения функции и константы равна произведению константы на производную функции, поскольку производная константы равна нулю .

1. Пусть  – независимая переменная или прямая (рис. 2). Аргументу  дадим приращение .

2. Найдем соответствующее приращение функции .

3. Запишем очевидное отношение и найдем его предел , то есть  (см. рис. 2).

Следствия!

1.           2.        3.

 2. Производная степенной функции

Пусть , где ,  дифференцируема.

1. Аргументу  дадим приращение , функции  – приращение , и новое значение .

2. Найдем соответствующее приращение функции = .

3. Найдем предел . Из необходимого условия дифференцируемости следует, что бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции , то есть получаем неопределенность . Тогда последний предел = , откуда согласно пятому замечательному пределу имеем 

Производная степенной функции равна произведению показателя функции на функцию с показателем, уменьшенным на единицу, и на производную основания функции.

Следствия!

1. . 2. .    3. .

 3. Производная показательной функции

Пусть , где ,   дифференцируема.

1. Аргументу  дадим приращение , функции   – приращение , и новое значение .

2. Найдем соответствующее приращение функции .

3. Запишем отношение и найдем его предел = . Из необходимого условия дифференцируемости следует, что бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции . Тогда последний предел = = = ,   откуда согласно четвертому замечательному пределу имеем 

 .                    (2)

Производная показательной функции равна произведению самой функции на натуральный логарифм основания и на производную показателя.

Следствия!

1. .       2. .

4. Производная логарифмической функции

Пусть , где ,   дифференцируема.

1. Аргументу  дадим приращение , функции  – приращение , и новое значение .

3. Найдем предел = . Из необходимого условия дифференцируемости следует, что бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции . Тогда последний предел , откуда согласно третьему замечательному пределу имеем , или

.                    (3)

Производная логарифма функции равна произведению отношению производной функции к произведению функции на натуральный логарифм основания.

Следствия!

1. .        2. .        3. .

5. Производные тригонометрических функций

5.1. Производная sin x

Пусть , где    дифференцируема.

1. Аргументу  дадим приращение , функции  – приращение , и новое значение .

2. Найдем соответствующее приращение функции .

3. Найдем предел  = = = , или

Производная синуса функции равна произведению косинуса функции на производную функции.

Следствие!         .                

5.2. Производная cos x

Пусть , где   дифференцируема. Производная сложной функции . С другой стороны, . Откуда

 .                       (5)

Производная косинуса функции равна произведению синуса функции на производную функции с противоположным знаком.

Следствие!                   

 .

5.3. Производная tg x и ctg x

Пусть , где   дифференцируема,  

 .                     (6)

Производная тангенса функции равна произведению квадрата секанса функции на производную функции.

Аналогично получим производную для котангенса.

 .        (7)

Производная котангенса функции равна произведению квадрата косеканса функции на производную функции с противоположным знаком.

Следствия!                

1. .  2. .

Пусть , где   дифференцируема, тогда

, или

.                        (8)

Производная секанса функции равна произведению секанса функции на тангенс функции и на производную функции. Аналогично

.                    (9)

Производная косеканса функции равна произведению косеканса функции на котангенс функции и на производную функции с противоположным знаком.

Следствия!                

1. .        2. .

 6. Производные обратных тригонометрических функций

6.1. Производная arcsin x и arccos x

Пусть , где , . Воспользуемся теоремой о производной обратной функции . Запишем . Тогда . Если   дифференцируема, то 

 . Аналогично  . (10)

Следствия!    

1. .      2. .

6.2. Производная arctg x и arcctg x

Пусть , где , . Запишем . Тогда .

. Аналогично . (11)

Следствия!                

1. .           2. .

 7. Производные гиперболических функций

Производная sh x, ch x, th x, cth x

1. , .

2. , .

3. , тогда .

4. , тогда .

Если   дифференцируема, то окончательно запишем

, , , .

Заключение

Рассмотренные вопросы имеют больше практическое, чем теоретическое значение. Новые теории не изучались и не доказывались теоремы. Все производные получены на основе общего правила дифференцирования. Однако полученные результаты входят в основную часть таблицы производных, которую необходимо знать.

 Отметим, что:

- производная константы равна нулю;

- производная аргумента равна единице;

- производная экспоненциальной функции  равна самой функции.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 190 с.

2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Введение

Ранее производные функций рассматривались как мгновенная скорость роста, то есть узнавали, во сколько раз быстрее растет функция по отношению к росту аргумента в точке. Дифференциал функции, хотя и имеет общие правила с производной в их нахождении, однако несет совершенно другой геометрический смысл, а именно: происходит не приращение функции, а приращение касательной. Это свойство используется в приближенных вычислениях, поскольку вычислить текущее значение функции прямой линии проще, чем исходной функции.

Отдельно рассматривается понятие векторной функции. В силу ограниченности объема курса это понятие дается в рамках одного вопроса. Однако его понимание и дифференциала векторной функции необходимо при изучении тем: «Векторный анализ», «Интегральное исчисление» и др. Подобные функции встречаются практически во всех прикладных задачах на траекторию движения. Отдельно отметим важность понятий дифференциала функции в теме «Дифференциальные уравнения».    

1. Понятие дифференциала и его геометрический смысл

1.1. Дифференциал функции

ПРИМЕР 1.

Для  при приращении  на  определить .

Решение.

 Таким образом,  состоит из двух частей (линейной и нелинейной) относительно .

Пусть  дифференцируема в некоторой точке , следовательно, существует  или , следовательно, по второму определению предела  – бесконечно малая величина в точке . Выразим

,                 (1)

Определение 1.

Главная, или линейная относительно , часть бесконечно малого приращения функции называется дифференциалом функции. Обозначается .

По определению . Для любых  дифференциал определяется как . Если , то = , или

 .                      (2)

Согласно определению 1 и выражению (2) дифференциал функции определяется как

 ,                    (3)

т. е. произведение производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Из этого следует, что все формулы производных можно перенести на дифференциал.

1.2. Геометрический смысл дифференциала

Пусть  – дифференцируемая функция. Обозначим через  некоторую точку на кривой (рис. 1), приращение  – через , тогда вторую точку, образованную этим приращением на кривой, обозначим . В  обозначим угол . Определим  = , или .

ПРИМЕР 2.

Найти  для . Имеем .

2. Дифференциал сложной функции

Если  дифференцируема,  – независимая переменная, тогда дифференциал . Если  и  – дифференцируемые функции,  – независимая переменная, тогда  – сложная функция,  – промежуточная переменная. Дифференциал . Сравнивая оба дифференциала простой и сложной функций, замечаем, что форма дифференциала не изменилась, то есть она не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией. Это свойство называется инвариантностью дифференциала

.                         (4)

Однако в первом случае  – число, а во втором случае  – функция.

ПРИМЕР 3.

Дифференциалы ,  – инвариантны.

Производные ,  – не инвариантны.

3. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал от дифференциала первого порядка называется дифференциалом второго порядка . Поскольку  – константа, то

.                                 (5)

Определение 3.

Дифференциал от дифференциала второго порядка называется дифференциалом третьего порядка =

.                     (6)

Определение 4.

Дифференциал от дифференциала  порядка называется дифференциалом n-го порядка = =

.                       (7)

Определим дифференциал второго порядка сложной функции. Если  дифференцируема,  – независимая переменная, тогда дифференциал второго порядка . Если  и  – дифференцируемые функции,  – независимая переменная, тогда  – сложная функция,  – промежуточная переменная. Дифференциал второго порядка сложной функции . Однако  – функция, поэтому . Сравнивая оба дифференциала простой и сложной функций, замечаем, что дифференциал второго, следовательно, и дифференциалы больших порядков не инвариантны.

4. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям

,                         (8)

т. е. , тогда , откуда

.                    (9)

Погрешность вычисления определяется выражением

, где  .     (10)

ПРИМЕР 4

Найти . Запишем соответствующую функцию , точку , приращение , значение функции в точке , производную  и значение производной в точке . Тогда, используя выражение (9), определим .

Определим погрешность вычислений. . Данная функция убывает на отрезке , следовательно, . Тогда . С учетом погрешности .

5. Векторная функция скалярного аргумента и ее дифференциал

5.1. Векторная функция, ее непрерывность и производная

Запишем вектор . Если , то вектор  – постоянный, если ,  и  – функции, то 

 .                    (11)

Определение 5.

Отображение множества R на множество , которое каждому элементу из множества  ставит в соответствие единственный элемент из множества , называется векторной функцией скалярного аргумента или вектор-функцией

.

Очевидно, что с изменением переменной t конец вектор-функции описывает некоторую линию в пространстве.

Определение 6.

Линия, описываемая концом векторной функции, называется годографом  векторной функции. Начало векторной функции называется полюсом (рис. 2).

На векторную функцию переносятся все правила пределов, свойства непрерывности функции и правила дифференцирования.

Определение 7.

Постоянный вектор  называется пределом векторной функции   в , если для любых  существует , такая, что для любых  следует , или по второму определению предела  есть бесконечно малая величина в точке .

Определение 8.

Векторная функция  - непрерывна в точке , если она определена в этой точке и

Определение 9.

 Производной векторной функции называется предел отношения приращения векторной функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю

 .             (12)

5.2. Геометрический смысл производной векторной функции

Пусть векторной функции  для приращения аргумента  на  соответствует приращение на  (рис. 3). Очевидно, что вектор . При  точка  на кривой L

Теорема 1.

. (13)

Доказательство.

1. Дадим параметру  приращение , тогда функции  также получать соответствующие приращения .

2. Запишем соответствующее приращение векторной функции .

3. Тогда предел , откуда . 

Следствие!

                             (14)

5.3. Дифференциал длины дуги

Пусть L – годограф непрерывной векторной функции , причем  непрерывно дифференцируема, а кривая L – гладкая. Определим длину дуги на кривой L (рис. 4). Очевидно, что длина дуги будет некоторой функцией .

Теорема 2.                

          (15)

Дифференциал . Но . Очевидно, что при  справедливо , тогда , откуда справедливо (15).

5.5. Дифференциал длины дуги в различных видах

I. Кривая задана параметрически . По теореме Пифагора , или

.                    (16)

II. Функционально , где  – независимая переменная, тогда , или

.                    (17)

III. В полярной системе , , или

.                  (18)

Заключение

Отметим, что:

- дифференциал функции это приращение касательной в точке;

- дифференциал аргумента равен приращению аргумента;

- дифференциал используется в приближенных вычислениях;

- векторная функция это вектор с функциями  координат;

- производная векторной функции это касательная к годографу векторной функции;

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002. - 448 с.

План лекции

1. Теорема Ферма

2. Теорема Ролля

3. Теорема Лагранжа

4. Теорема Коши

5. Теорема Лопиталя

6. Общая таблица взятия пределов

Введение

Ранее мы изучили понятия производной и дифференциала, и научились использовать их для решения прикладных задач. Однако решение многих задач можно упростить и найти решение некоторых неразрешенных задач на основе тех теорем, которые мы изучим сегодня. Они особенно важны для решения практических задач. Для усвоения теорем необходимы знания, полученные по темам «Дифференцирование» и «Пределы».    

1. Теорема Ферма

1.1. Теорема ферма

Теорема 1 (Ферма).

Если функция непрерывна в окрестности точки , а в самой точке принимает наибольшее или наименьшее значение, то производная в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть  – наибольшее значение функции , следовательно,  для всех  или . Тогда . Возможны два варианта.

а) Если , т. е. , и ,

б) Если , т. е. , и .

По условию существует производная функции, тогда односторонние пределы равны между собой. Следовательно, = =0, или . Аналогично доказывается случай  – наименьшее значение функции.

1.2. Геометрический смысл теоремы Ферма

Следствия!

1) Точка  – внутренняя. Если  – граничная точка, то теорема не выполняется.

2) Если не существует производной, то нет касательной.

3) Если производная , то касательная вертикальна.

2. Теорема Роля

Теорема 2 (Роля).

Если функция  непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, а на концах принимает равные значения , то хотя бы в одной точке внутри отрезка производная этой функции равна нулю

.

Доказательство.

Так как , то по теореме Вейерштрасса эта функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Возможны два случая.

1. Хотя бы одно наибольшее или наименьшее значение функция принимает внутри отрезка , например в точке , т. е. в этой точке выполняются условия теоремы Ферма и .

2. Наибольшее и наименьшее значение функция принимает на концах отрезка . Например,  – наименьшее значение,  – наибольшее значение. Тогда по теореме Больцано–Коши . Однако по условию т. , следовательно,  и

Следствие!

Пусть , тогда между двумя нулями функции находится хотя бы один нуль производной (рис. 2).

3. Теорема Лагранжа

3.1. Теорема

Если функция непрерывна на отрезке  и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то найдется точка внутри этого отрезка, производная в которой равна отношению приращения функции к длине отрезка

.   (1)

Доказательство.

Запишем функцию

.             (2)

1. Функция  – непрерывна на  как алгебраическая сумма трех непрерывных функций.

2. В силу первого  – дифференцируема .

3. .

4. Выражение (2) удовлетворяет условиям теоремы Роля, следовательно, существует точка  такая, что .

5. Найдем .

6. . Из п. 4 следует, что  при . Геометрическая интерпретация теоремы представлена на рис. 3.

Частный случай!

Если , то  – теорема Роля.

3.2. Геометрический смысл теоремы

Очевидно (рис. 3), что тангенс угла между прямой  и осью определяется как . С другой стороны, . Если функция  удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, то на интервале  найдется такая точка , касательная в которой к этой функции параллельна хорде, стягивающей концы кривой.

3.3. Формула конечных приращений

Из (2) следует, что . Если , а , то

.                    (3)

,

а приближенное значение как

.

Тогда погрешность будет определяться разностью между точным и приближенным значением – . Применим теорему Лагранжа . Очевидно (рис. 3), что . Обозначим , тогда максимальную погрешность можно оценить как

 .                    (4)

 4. Теорема Коши

Теорема 4 (Коши).

Если функции  и  непрерывны на отрезке  и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем  для любых , то существует точка  такая, что отношение производных в этой точке равно отношению приращений производных этих функций на отрезке

Доказательство аналогично теореме Лагранжа. При этом записывают функцию

.

Частный случай!