Непрерывность функции в точке и на интервале

Точки разрыва функции, их классификация

3. Основные теоремы о непрерывных функциях

4. Свойства функций, непрерывных на отрезке

5. Метод половинного деления

Введение

Данная лекция базируется на знаниях, полученных на предыдущих лекциях, и позволяет перейти к важной теме «Дифференциальное исчисление». Для изучения понятия производной необходимо понимать непрерывность функции. Несмотря на очевидность многих теорем, требуется уделить им особое внимание, так как незначительное отклонение от накладываемых на функцию условий приводит к существенным ошибкам. Например, важна непрерывность функции не на интервале, а на отрезке или различие между понятиями максимума функции и наибольшего значения функции на отрезке и т.д.

Отдельно рассмотрим метод половинного деления. Он основан на знании прежде всего теорем о непрерывных функциях и уже относится к численным методам.        

Непрерывность функции в точке и на интервале

Непрерывность функции

Пусть функция  определена в некоторой точке  и в ее некоторой окрестности.

Определение 1.

Функция  называется непрерывной в некоторой точке , если существует предел в этой точке и он равен значению функции в этой точке

.                    (1)

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1) функция  определена в точке  и в ее окрестности;

2) функция  имеет предел при ;

3) предел функции в точке  равен значению функции в этой точке.

Замечание!

.

ПРИМЕР 1.

 В силу непрерывности функции  справедливо .

1.2. Приращение аргумента и функции

Определение 2.

Пусть функция  определена в некотором интервале . Возьмем произвольную точку . Для любого  разность  называется приращением аргумента  в точке  и обозначается . Разность соответствующих значений функций  называется приращением функции  в точке .

Согласно определению ,  (рис.1). Очевидно, что эти приращения могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Так как  означает, что , то равенство (1) можно записать , или

.                           (2)

Выражение (2) является еще одним определением непрерывности функции в точке.

Определение 3.

Функция  называется непрерывной в точке

ПРИМЕР 2.

Исследуем на непрерывность функцию . Определим , или = . Согласно (2) , то есть функция  непрерывна .

Определение 4.

Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение 5.

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в интервале  и в точке  непрерывна справа , а в точке  непрерывна слева .

2. Точки разрыва функции, их классификация

Определение 6.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции, то есть точками, в которых не выполняется хотя бы одно из условий (1).

1) Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке (рис. 2).

2) Функция определена в точке  и ее окрестности, но не существует предела  при  (рис. 3).

Определение 7.

Точка разрыва  называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют односторонние конечные пределы ,  и при этом, если , то точка  называется точкой устранимого разрыва, а если , точка  называется точкой конечного разрыва и величина  называется скачком функции в точке разрыва первого рада.

Определение 8.

Точка разрыва  называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке, по крайней мере, не существует или равен бесконечности один из односторонних пределов.  

Соответственно на рис. 2 точка  – точка разрыва второго рода, т. к.  и . На рис. 3. точка  – точка неустранимого разрыва первого рода, т. к. . Скачок функции в точке  соответственно равен . На рис. 4. точка  - точка устранимого разрыва первого рода, т. к. . Если установить, что  при , то функция станет непрерывной.    

3. Основные теоремы о непрерывных функциях

Теоремы о непрерывности функций следуют из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 1.

Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного, за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

Доказательство.

Пусть функции  и  непрерывны на некотором множестве X  и  – любое значение этого множества. Докажем непрерывность произведения . Применяя теорему о пределе произведения, получим

т. е. . Следовательно,  непрерывна в точке . Аналогично доказывается для других операций.

Теорема 2.

 Если функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке , то сложная функция , состоящая из непрерывных функций, непрерывна в точке .

Доказательство.

В силу непрерывности функции , , т. е. при  имеем . Поэтому в силу непрерывности функции  имеем:

.

Следовательно, функция  непрерывна в точке .

Теорема 3.

 Если функция  непрерывна и строго монотонна на  оси , то обратная функция  также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке  оси .

Важно!

Все элементарные функции непрерывны в области определения.

ПРИМЕР 3.

непрерывна , тогда .

4. Свойства функций непрерывных на отрезке

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.

Теорема 4 (Вейерштрасса).

 Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Изображенная на рис. 5 функция  непрерывна на отрезке , принимает свое наибольшее значение M в точке а, а наименьшее в точке . Для любого  имеет место неравенство .

Теорема 5.

Теорема 6 (Больцано-Коши).

 Если функция  непрерывна на отрезке  и принимает на его концах неравные значения  и , то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Геометрически теорема очевидна (рис. 6). Для любого числа С, заключенного между А и В, внутри этого отрезка найдется такая точка с, что . Прямая  пересечет график функции по крайней мере в одной точке, иначе функция должна была бы иметь разрыв.

Теорема 7.

 Если функция  непрерывна на отрезке  и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка  найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция  обращается в нуль – .

Геометрический смысл теоремы (рис. 7) означает, что если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси  на другую, то он пересекает ось .

Следствие!

Теорема 7 лежит в основе так называемого метода половинного деления, который используется для нахождения корня уравнения .

ПРИМЕР 4.

Определить с точностью  корень для  на отрезке , применив метод половинного деления.

Шаг 1. = - 2.281718 и =16.085537.

Шаг 2. Вычисляем .

Шаг 3. Вычисляем =3.096163. Если , то x – корень уравнения. В нашем случае это не так.

Шаг 4. При , если , то полагаем , , иначе , . В нашем случае , поэтому , =3.096163.

Шаг 5. Если , то задача решена. В качестве искомого корня (с заданной точностью ) принимают . Иначе процесс деления отрезка  пополам продолжаем, возвращаясь к шагу 2. В нашем случае , следовательно, возвращаемся к шагу 2, , а новое значение =–0.018311. Поскольку , то , а -0.018311. Определяем . И так далее. В конечном счете получим x = 0.29589.

Заключение

Для анализа функции необходимы знания о пределах. Последний пример – численный метод анализа функции.

Отметим:

- функция непрерывна, если выполняются три условия;

- из непрерывности функции , что  соответствует ;

- приращение функции в точке ;

- точки разрыва бывают первого и второго рода;

- метод половинного деления позволяет найти корень уравнения с заданной точностью;

- ,  . Откуда . Напомним, что ~ .    

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

2. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999. - 560 с.