Основные теоремы о пределах

Теорема 1.

Предел постоянной величины есть сама постоянная величина

.                            (1)

Теорема 2.

Предел алгебраической суммы конечного числа функций, имеющих предел в точке, равен алгебраической сумме пределов этих функций

 при .        (2)

Теорема 3.

Предел произведения конечного числа функций, имеющих предел в точке, равен произведению пределов этих функций

 при .

Теорема 4.

 при .     (3)

Доказательство (основано на втором определении пределов). Пусть  и . Необходимо доказать, что , то есть показать, что  – бесконечно малая величина.

.

Обозначим  и  – бесконечно малые величины, тогда  – произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая величина.

Следствия!

1)              2) .

ПРИМЕР 1.

Вывод!

Если функция определена в точке, то для вычисления предела достаточно в эту функцию подставить предельное значение.

Теорема 5.

Если функции  и  имеют в точке одинаковый предел, а в окрестности этой точки справедливы неравенства , то функция  имеет тот же предел.

Доказательство.

Пусть  и . Тогда согласно определению предела  и , откуда  и . С учетом неравенств запишем , или , следовательно  (рис. 1).

3. Первый замечательный предел

Докажем справедливость рассмотренного в лекции 2 предела

.      (4)

Согласно рис. 2. имеет место соотношение площадей . Площади определяются как , , . Тогда , или . Следовательно, . Перейдем к пределам , . Согласно теореме 5 определим . Выражение (4) называется первым замечательным пределом.

Используя этот предел можно доказать другие пределы

1) ;

2) ;

3)  = = .

Таким образом, при нахождении пределов можно делать эквивалентные замены бесконечно малых величин

1) ~ ;  2) ~ ; 3) ~ ;   

4) ~ ; 5) ~ .

4. Числовая последовательность и ее предел,

второй замечательный предел

4.1. Определения

Определение 1.

Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента:  или , . Обозначается последовательность

Определение 2.

Число b называется пределом числовой последовательности, если , справедливо неравенство .

Определение 3.

Числовая последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая называется расходящейся.

4.2. Геометрический смысл числовой последовательности

Представим систему координат, в которой по оси абсцисс отложены натуральные числа, а по оси ординат – значения функции натурального аргумента. Как видно рис. 3, наличие предела числовой последовательности означает, что после некоторого значения n значения функции не будут выходить за диапазон . Причем, какое бы значение  мы ни выбрали, всегда найдется такое значение n, после которого данное неравенство будет иметь место.

Замечание!

Всякая ограниченная и монотонная функция натурального аргумента (числовая последовательность) имеет предел.

Так, например, доказано, что числовая последовательность , следовательно, она ограничена сверху и имеет предел

 или . (5)

Выражение (5) называется вторым замечательным пределом. Второй замечательный предел служит для вычисления пределов функций, имеющих неопределенность . Другая запись второго замечательного предела:

.                 (6)

Очевидно, что справедливы следующие пределы

   или      (7)

ПРИМЕР 2.

, где .

5.1. Третий замечательный предел

.                      (9)

Доказательство.

. Частный случай .

5.2. Четвертый замечательный предел

.                    (10)

Доказательство.

Обозначим , тогда . С учетом обозначений . Согласно третьему замечательному пределу . Частный случай .

5.3. Пятый замечательный предел

.                    (11)

В частности , и к уже известным нам эквивалентностям добавим

Заключение

В прикладных вопросах задача нахождения предела, как будет показано далее, встречается практически всегда, когда необходимо анализировать графические зависимости, будь то графики в экономике, графики зависимости популяций в биологии и др.

Отметим наиболее важные аспекты:

- сумма или разность бесконечно малых величин равна бесконечно малой величине меньшего порядка малости ;

- на основе замечательных пределов можно заменять эквивалентные величины;

- числовая последовательность есть функция натурального аргумента;

- очевидно, что при приближенных расчетах можно вместо функции можно использовать эквивалентную ей величину ;

- экспонента – это предел числовой последовательности. 

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002. - 448 с.

3. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 2 – М.: Лань, 2002. - 464 с.

4. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999. - 560 с.

5. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

План лекции