Физический и геометрический смысл производной

Пусть функция  определена на некотором интервале . Осуществим следующие операции:

- аргументу  дадим приращение : ;

- найдем приращение функции ;

- составим отношение приращения функции к аргументу ;

- найдем предел этого отношения при :  .

Определение 3.

Производной функции  в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

.     (4)

Замечание!

Производная функции  есть некоторая функция , произведенная из данной функции.

Определение 4.

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале, а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции  в точке  обозначается одним из символов  или .

ПРИМЕР 1.

Найти производную функции .

Решение:

- аргументу  дадим приращение ;

- приращение функции ;

- составим отношение ;

- найдем предел , т. е. .

ПРИМЕР 2.  Найти производную функции .

Решение:

- аргументу  дадим приращение ;

- найдем соответствующее приращение функции ;

- составим отношение ;

- найдем   или .

Вернемся к перемещению точки. Было получено .

Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути по времени. В этом заключается физический смысл производной.

Другими словами, производная показывает, во сколько раз быстрее возрастает значение функции по отношению к росту переменной, или какова мгновенная скорость протекания процесса, описываемого некоторой функцией.

Вернемся к задаче с касательной к кривой. Был найден угловой коэффициент касательной .

Замечание!

То есть производная  в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции  в точке, абсцисса которой, равна x. В этом заключается геометрический смысл производной.

2.2. Уравнение касательной и нормали к кривой

Если точка касания M  имеет координаты  (рис. 4), то угловой коэффициент касательной есть . Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении

.     (5)

Определение 2.

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

.                           (6)

Поэтому уравнение нормали будет иметь вид (при )

 .                   (7)

Теорема 1.

Если  имеет предел  А, то ее можно представить как сумму числа А и БМВ, т. е. , то .

Теорема 2.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Доказательство.

Пусть функция  дифференцируема в некоторой точке x. Следовательно, существует предел . Отсюда имеем , где  при , то есть . Переходя к пределу при , получаем . Это означает, что функция  непрерывна в точке x.

Замечание!

Обратная теорема не верна. Непрерывная функция может не иметь производной. Пример:   в точке  (рис. 5).

Замечание!

Производная непрерывной функции  сама необязательно является непрерывной.

Определение 3.

Если функция  имеет непрерывную производную  на некотором интервале , то функция называется гладкой.

Заключение

Отметим наиболее важные моменты:

- производная непрерывной функции необязательно непрерывна;

- если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней;

- функция, дифференцируемая в некоторой точке, не обязательно непрерывна;

- тангенс угла наклона определяет уравнение касательной и нормали к кривой.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. – 384 с.

2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

План лекции