Определение предела функции в точке

Теорема единственности предела функции в точке

3. Односторонние пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке

4. Свойства функции, имеющей предел в точке

5. Предел функции на бесконечности

Введение

Дальнейшее изучение интегро-дифференциального счисления невозможно без понимания предела. Это понятие будет встречаться на протяжении не только всего курса высшей математики, но и на других смежных дисциплинах. Понимание материала как этой, так и последующих лекций лежит в большей части в интуитивной области, однако очень важно внимательно изучить первые два определения и понять их геометрический смысл, они являются базовыми в дальнейшем.  

Определение предела функции в точке

Определение предела

Определение 1.

Число b называется пределом функции  в точке , если для любого сколь угодно малого положительного  найдется другое положительное число , такое, что для всех x, быть может, не равных a и удовлетворяющих неравенству , выполняется условие . Обозначается

 .                        (1)

Или то же определение с использованием сокращений   .

Модуль  означает, что , или , следовательно, . Если из  удалить точку a, то получим проколотую дельта-окрестность (рис. 1).

Определение 2.

  .

Из определения предела следует, что   , соответственно значения функции лежат в интервале . Поведение функции  в точке  на величину предела не влияет. Функция в этой точке может быть даже не определена.

ПРИМЕР 1.

Функция  в точке . Но .

Важно!

На величину предела не влияет поведение функции в конечном числе точек дельта окрестности. Эти точки можно исключить и взять другую, меньшую дельта-окрестность.

ПРИМЕР 2.

Доказать, что . По определению  можно найти , удовлетворяющих неравенству , следовало бы . Преобразуем неравенство в  или . Тогда для любых  можно подобрать , то есть  справедливо.

Теорема единственности предела функции в точке

Теорема 1.

Если функция имеет предел в точке, то он единственный.

Доказательство (от противного).

Предположим, что  и . Тогда, согласно определению предела,  и . Примем за  и = . Тогда  справедливы оба предположения. Возьмем  и оценим , т. е.  – противоречие, следовательно, предположение не верно и предел единственный.

 условия существования предела функции в точке

Обозначим  – левая полуокрестность, т.е .

Обозначим  – правая полуокрестность, т.е .

Определение 3.

Число b называется левосторонним пределом функции  в точке , если   . Обозначается .

Определение 4.

Число b называется правосторонним пределом функции  в точке , если   . Обозначается . Левосторонние и правосторонние пределы называются односторонними.

Теорема 2.

Для того чтобы функция имела предел, необходимо и достаточно, чтобы существовали левосторонний и правосторонний пределы и были равны между собой.

Доказательство.

Необходимость.

Дано: . Доказать, что .  По определению 2 следует, что    следует  (2). Возьмем , согласно (2) . Аналогично , согласно (2) .

Достаточность.

Дано: . Необходимо доказать, что . По условию и определению 3

4. Свойства функции, имеющей предел в точке

Теорема 3.

Если функция имеет положительный предел в точке, то найдется окрестность точки, в которой функция положительна.

Доказательство.

Из определения следует, что , удовлетворяющих неравенству . Следовательно,  или . Возьмем  - любое положительное число. Тогда  или . Следовательно, все значения  в -окрестности точки a положительны ( ). То же для отрицательного предела.

Определение 5.

Функция  - ограниченная на множестве D если существует M>0, такое что для любых .

ПРИМЕР 3.

 - ограничена на R, ,  на области определения не ограничена, а на отрезке  - ограничена

Теорема 4.

Если функция имеет конечный предел в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Доказательство.

Пусть , тогда по определению   . Очевидно, что . Следовательно,  или . Обозначим , тогда , т. е. функция ограничена.

Теорема 5.

Доказательство аналогично теореме 4.

 5. Предел функции на бесконечности

Определение 6.

N–окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество всех точек рас, стояние до которых большее N или , или . Обозначается

Определение 7.

Число b называется пределом функции   на бесконечности , если для   . Обозначается

.                        (3)

Замечание!

Так как принципиального различия между определениями 7 и 1, 2 нет, то все рассмотренные теоремы можно отнести к функциям, имеющим предел на бесконечности.

Заключение

В заключении важно отметить, что предел – это абстрактное понятие, записанное строгим математическим языком, т. е. предел – это то значение, к которому стремится функция, причем она его может никогда не достичь (функция в этой точке может не существовать). Отметим, что предел функции в точке можно понимать как бесконечность вселенной и времени.

Отметим, что:

- предел – это абстракция, к которой что-то стремиться;

- функция ограничена в окрестностях, где она имеет предел;

- односторонние пределы могут быть не равными, т.е. может быть разрыв;

- доказательство всех теорем о пределах базируется на фундаментальном определении самого предела;

- функция может быть ограничена на бесконечности;

- всегда можно взять дельта-окрестность меньше той, которая дана.  

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002, - 448 с.

3. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999, - 560 с.

 Лекция 3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

План лекции

Бесконечно малые величины

Второе определение предела

3. Свойства бесконечно малых величин

4. Бесконечно большие величины

5. Сравнение бесконечно малых величин

Введение

Данная лекция посвящена наиболее трудно усваиваемым понятиям: «бесконечно малая и бесконечно большая величина». Дело в том, что структура всего математического анализа построена на подобных понятиях. Ясно, что представить точку с нулевым размером или бесконечную область так же трудно, как представить бесконечную вселенную и абсолютно элементарную частицу. Данные понятия находятся больше в области абстрактного. Каждый находит собственное понимание этого вопроса, однако должны быть незыблемыми основные правила и теоремы, которым подчиняются эти величины. Следует обратить внимание на то, что величина, обратная бесконечно малой величине, есть бесконечно большая величина. Аналог в астрофизике – рождение бесконечной вселенной происходит из точки нулевого размера (большой врыв).        

Бесконечно малые величины

Определение 1.

Функция  называется бесконечно малой функцией, или бесконечно малой величиной, в точке , если

 или .                      (1)

ПРИМЕР 1.

 – бесконечно малая величина в точках  и .

Замечание!

 Понятие «бесконечно малая» величина нельзя смешивать с понятием «очень малая величина», т. к. последняя является константой, а бесконечно малая величина – переменная, промежуточные значения которой могут быть и большими, но ее предел стремится к нулю.

Определение 2.

Определение на языке . Функция – бесконечно малая величина в точке , если   .

Теорема 1.

Для того чтобы b было пределом функции  в точке , необходимо и достаточно, чтобы разность между  и ее пределом в этой точке была бесконечно малой величиной.

Доказательство.  Необходимость.

Дано: . Необходимо доказать, что . Из условия и определения предела следует, что   , то есть . Следовательно,  – бесконечно малая величина в точке .

Достаточность. Дано: , где  – бесконечно малая величина. Необходимо доказать, что . Из  того, что  – бесконечно малая величина, следует, что   , или .

Определение 3.

Второе определение предела. Число b называется пределом функции  в точке , если  есть бесконечно малая величина .

3. Свойства бесконечно малых величин

3.1. Сумма бесконечно малых величин

Теорема 2.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин в точке есть величина бесконечно малая в этой точке, т. е.  - бесконечно малая величина в точке , если .

Доказательство.

Докажем, что теорема верна для двух слагаемых: .

Если , то согласно определению   . Если , то согласно определению   . Для любых  можно принять . Для дельта-окрестности =  оценим , то есть  и  – бесконечно малая величина. Для суммы n бесконечно малых величин с учетом предыдущего доказательство сводится к последовательному объединению слагаемых до случая суммы двух бесконечно малых величин.

Если число слагаемых , то получим неопределенность  . 

3.2. Произведение бесконечно малой величины в точке на функцию

Теорема 3.

Произведение бесконечно малой величины в точке на функцию, ограниченную в окрестности этой точки, есть бесконечно малая величина.

Доказательство.

Пусть , то согласно определению . Пусть функция  – ограничена в окрестности , . Примем = , для которой выполняются предыдущие условия. Для любых  можно принять . Оценим . Таким образом, , . Следовательно,  – бесконечно малая величина, т. е. если , а  имеет в точке  конечный предел, то .

Важно!

Очевидно, что произведение n бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина. Если число произведений , то получим неопределенность .

Определение 3.

Функция  бесконечно большая величина в точке , если ,  (неограниченная).

 или .                      (2)

ПРИМЕР 2. .

Важно!

Бесконечно большую величину нельзя путать с очень большой величиной (const). Среди постоянных чисел есть 0, его можно принять за бесконечно малую величину, за бесконечно большую величину ни одно из чисел принять нельзя.

Теорема 4.

Величина, обратная бесконечно малой величине в некоторой точке, есть величина бесконечно большая и наоборот.

Доказательство.

а) По условию   , откуда следует . Обозначим . Следовательно, согласно определению  есть бесконечно большая величина.

б) Пусть  – бесконечно большая величина в точке . Докажем, что  – бесконечно малая величина. По определению   , или . Примем , тогда , т. е.  – бесконечно малая величина.

Следствие!

При нахождении пределов можно делать замену .

Вопрос 5. Сравнение бесконечно малых величин

Пусть  и  – бесконечно малые величины в точке . Для сравнения этих величин находят

. (3)

Теорема 5.

Предел отношения бесконечно малых величин в некоторой точке равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых величин в этой точке. Если ~  и ~ , то

Доказательство.

= = = .

Следствие!

 В частности, если , то говорят, что величины эквивалентны ~ . При нахождении пределов их можно заменять (см. т. 5).

ПРИМЕР 3.

, поскольку  и ~ .

Заключение

В большей части курса математики будем пользоваться множеством действительных чисел, которое обладает свойством непрерывности, плотности и упорядоченности, то есть математическим представлением восприятия окружающего пространства.

Отметим, что:

- бесконечно малая и бесконечно большая величины это функции;

- предел бесконечно малой величины в точке равен нулю;

- предел бесконечно большой величины есть бесконечность ;

- сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина;

- бесконечно большая и бесконечно малая величины связаны между собой однозначным обратно пропорциональным преобразованием;

- величины бывают разного порядка малости, т. е. скорость убывания бесконечно малых функций может быть различна;

- сравнение бесконечно малых величин происходит на основании определения предела их отношения;

- в пределах можно переходить от бесконечно малых к бесконечно большим величинам.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Краткий курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной». – СПб.: Лань, 1999, - 560 с.