Дифференцирование сложной функции

Дифференцирование обратной функции

3. дифференцирование суммы, произведения и частного

4. Логарифмическое дифференцирование

5. Производные функций, заданных неявно и параметрически

6. Производные высших порядков

Введение

На предыдущей лекции был изучен геометрический и физический смысл производной, а также типы задач, приводящие к ней. Дифференцирование основано на применении предельного перехода и позволяет изучать различные физические, биологические, химические и др. процессы в мгновенные моменты времени. Знание геометрического смысла позволяет находить углы наклона касательной, строить строгие перпендикуляры, что очень важно при проектировании сооружений. Как будет показано далее, дифференцирование позволяет исследовать функции, описывающие различные процессы. На этой лекции рассмотрим общие правила дифференцирования.

Важность этой лекции очевидна. Не изучив правила нахождения производной функции, невозможно рассмотреть такие темы «Исследование функций», «Интегральное исчисление», «Дифференциальные уравнения» и др., где используются указанные правила. Правила дифференцирования получены на основании общего правила дифференцирования, изученного на предыдущей лекции.

Дифференцирование сложной функции

Теорема 1.

Если  дифференцируема по u, а  дифференцируема по x, то функция  дифференцируема, причем

  или ,                      (1)

где u – промежуточная переменная, x – независимая переменная.

Производная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной этой функции по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной.

1. Аргументу  дадим приращение .

2. Найдем соответствующее приращение функций  и .

3. Запишем очевидное равенство .

4. Найдем предел . По условию функция  дифференцируема по x. Из необходимого условия дифференцируемости следует, что она непрерывна, т. е. бесконечно малому приращению  аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции . Тогда . А так как существует , то существует , или .