Задачи, приводящие к понятию производной функции

1.1. Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) M движется неравномерно по некоторой прямой, например, спортсмен, преодолевающий 100 м. Пусть нам известна зависимость пройденного расстояния  (рис. 1) от времени t в виде , то есть, известен закон движения точки.

Если в некоторый момент времени t  точка занимает положение M, то в момент времени  точка займет положение , то есть за время  расстояние точки изменится с  на . Таким образом, перемещение точки M  за время  составит . Найдем среднюю скорость материальной точки на этом интервале

Однако это средняя скорость за период времени . Очевидно, что она не соответствует текущему значению. Чтобы точнее рассчитать скорость, необходимо уменьшать интервал времени , на котором происходит усреднение скорости. В предельном случае, когда , получим скорость движения точки в данный момент времени, или мгновенную скорость. Обозначим эту скорость V и получим

.                     (1)

1.2 Касательная к кривой

Возьмем на непрерывной кривой L две точки  и  (рис. 2).

Определение № 1.

Прямая, проходящая через две точки непрерывной кривой, называется секущей.

Пусть точка , двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке M. Тогда секущая, поворачиваясь около точки M, стремится к некоторому предельному положению MT.

Определение № 2.

Касательной к данной кривой в данной точке M называется предельное положение секущей, проходящая через эту точку, когда вторая точка  пересечения секущей и кривой L неограниченно приближается к ней.

Рассмотрим график непрерывной кривой  (рис. 3), имеющий в точке  невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где  – угол касательной с осью . Для этого проведем через точку  и точку  секущую . Обозначим  – угол между секущей и осью . Очевидно, что этот угол будет определяться согласно

При  в силу непрерывности функции приращение  тоже стремится к нулю. Поэтому точка  неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая , поворачиваясь около точки , переходит в касательную. Соответственно угол , т. е. . Следовательно,

.         (3)

Итак, мы пришли к необходимости нахождения предела отношения приращения функции к пределу приращения аргумента. К нахождению пределов вида (1) и (2) приводят решения и множества других прикладных задач, будь то сила тока, скорость течения химической реакции, скорость роста популяции или экономический рост. В любом случае пределы будут иметь одинаковый вид. Эти пределы записываются кратко

    или  .

Читается: V равно S штрих по t или тангенс  равен y штрих по x.

  2. Определение производной