Критерий устойчивости Найквиста.

Знаменатель передаточной функции  замкнутой системы автоматического регулирования представляет собой функцию ,    (5.21)

на единицу отличающуюся от передаточной функции разомкнутой системы . С учетом выражения (2.6)  получим:

     (5.22)

Так как в реальных системах порядок оператора правой части дифференциального уравнения всегда меньше порядка оператора левой части дифференциального уравнения, т.е. степень многочлена  всегда больше степени многочлена , то степени числителя и знаменателя одинаковы и определяются степенью , равной .

Подставив в выражение (3.19) числитель и знаменатель из равенств (2.13) и (5.22) , получим передаточную функцию замкнутой системы

. (5.23)

Многочлен  знаменателя передаточной функции есть характеристический многочлен дифференциального уравнения замкнутой системы, составляющий левую часть характеристического уравнения (2.37)

,

корни которого позволяют найти по формуле (2.38) общее решение однородного дифференциального уравнения системы.

Следовательно, числитель функции  является характеристическим многочленом  передаточной функции замкнутой системы, а знаменатель  согласно формуле (2.6) – характеристическим многочленом разомкнутой системы.

Перейдем от оператора  в формуле (5.21), получим функцию , на единицу отличающуюся от амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы :

.                (5.24)

Согласно формуле (5.22) частотная функция запишется так:

,                   (5.25)

где  – годограф Михайлова замкнутой системы;

    – годограф Михайлова разомкнутой системы.

В показательной форме можно записать:

где

.

При изменении  от 0 до  полное приращение фазы функции  будет равно: .

Для работоспособности системы необходимо, чтобы в рабочем (замкнутом) состоянии она была устойчивой. Это требование, согласно критерию устойчивости Михайлова выражается условием.

.

В разомкнутом состоянии в общем случае система может быть и неустойчивой, однако если в замкнутом рабочем состоянии она устойчива, то этого достаточно для ее нормальной работы.

Принимая в общем случае, что в разомкнутом состоянии система неустойчива и ее характеристическое уравнение  имеет  корней справа от мнимой оси, согласно формуле (5.18) ( ) критерия Михайлова запишем:

.

Таким образом,

.    (5.26)

Так как выражение (5.26) обеспечивает отсутствие корней характеристического уравнения замкнутой системы справа от мнимой оси, то оно является необходимым и достаточным условием устойчивости системы и называется критерием устойчивости Найквиста.

Если , то замкнутая система неустойчива.

Критерий устойчивости Найквиста можно сформулировать следующим образом:

Замкнутая линейная система устойчива, если приращение фазы функции  при изменении  от 0 до  будет равно , где  – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих на комплексной плоскости справа от мнимой оси.

Рис.5.5. Амплитудно-фазовые характеристики

а – устойчивые в замкнутом состоянии; б – неустойчивые в замкнутом состоянии.