Временные хар-ки. Единичная ф-ия. Переходная хар-ка.

Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса.

Переходная функция, или переходная характеристика  описывает переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 3.5). Такое входное воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается .

Математическое выражение единичного ступенчатого воздействия может быть записано в виде:

Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию , выходная величина будет равна .

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводится мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки на валу двигателя, мгновенный поворот командной оси следящей системы (оси прецессии гироскопа) и т.п.

Умножение какой-либо функции времени  на единичную ступенчатую функцию  означает, что функция времени  будет существововать только при , при она обращается в нуль. Это иллюстрирует рис. 3.5.

Рис. 3.5. Функция времени

Функция веса  представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Импульсная функция

Импульсная функция или дельта-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции: . Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки , где она стремится к бесконечности.

Основное свойство дельта-функции заключается в том, что т.е. она имеет единичную площадь.

Из последнего выражения следует, что размерность дельта-функции равна [c^-1].

При практических расчетах наиболее широкое применение находит временная характеристика в виде переходной характеристики, так как ее достаточно просто получить экспериментально и, кроме того, определяемый ею переходный процесс в системе часто возникает при включениях и изменении задания регулятору.

Кроме того, использование ступенчатого постоянного или импульсного воздействия в виде стандартного входного сигнала имеет также то преимущество, что действительные, любой формы, возмущающие воздействия на систему можно представить в виде последовательности таких сигналов.

Так, входной сигнал, изображенный на рис. 3.7, б, можно представить в виде суммы постоянных ступенчатых сигналов, то

Иначе            ,

где  – число промежутков, на которое разбит интервал времени от 0 до .

Просуммировав временные характеристики системы с учетом начального времени воздействия каждого скачка, а также их фактической величины, можно получить характер изменения выходной величины при входном воздействии по форме рис. 3.7, б.

Рис. 3.7. Пример интегрированного входного
воздействия на систему

Для того чтобы получить выходное значение соответствующее не ступенчатой кривой, а заданному плавно изменяющемуся значению в соответствии с передаточной функцией системы, необходимо промежутки времени уменьшать до бесконечно малой величины , а число скачков  увеличивать до бесконечности ( ). Сами скачки при этом будут бесконечно малыми величинами. Величину каждого скачка  можно представить в виде произведения скорости изменения  на продолжительность этого промежутка , т.е. .

Сумма в пределе перейдет в интеграл. Точное выходное значение для фиксированного момента времени  можно записать:

Полученное выражение называется интегралом Дюамеля.

Поскольку согласно Приложению 1 входная и выходная величины в преобразованном по Лапласу виде запишется как: ;

,

поскольку                .

С учетом этого получим

.