Частотные хар-ки. Комплексная плоскость.

Если на вход системы или звена подавать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянными амплитудой и частотой , то после затухания переходных процессов на выходе также возникают периодические колебания  с той же частотой, но с другой амплитудой и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний (рис. 3.8).

 На комплексной плоскости входная величина для каждого момента времени, например , определяется вектором , проведенным из начала координат под углом .

Как видно из рис. 3.8, б, действительная часть гармонической входной величины, представленная в комплексной форме, равна  как проекция вектора на ось абсцисс, а мнимая  как проекция на ось ординат.

Рис. 3.8. Представление установившихся гармонических
колебаний: а – в форме синусоид; б – векторов на комплексной плоскости

Обозначив значения комплексной входной величины для различных значений времени в виде , получим выражение для входной величины в комплексной тригонометрической форме:

(3.1)

Так как согласно формуле Эйлера

,

то входная величина в комплексной показательной форме запишется как

Аналогичным образом выходная величина в комплексной показательной форме имеет вид:

.                      (3.2)

Если начальная фаза входной величины не равна нулю, то в общем случае имеем:

,                     (3.3)

Тогда

.        (3.4)

Отношение выходной величины системы к входной величине, выраженное в комплексной форме, называется амплитудно-фазовой характеристикой АФХ системы.

Отношение амплитуд является модулем АФХ, а разность фаз  является ее фазой. Амплитудно-фазовая характеристика системы не зависит от времени. В этом ее принципиальное отличие от временной характеристики. Если временная характеристика определяет поведение системы в переходном процессе, то АФХ выражает зависимость параметров установившихся выходных колебаний от те от тех же параметров входных колебаний при различных частотах.

Однако, несмотря на то, что АФХ отображает только установившиеся процессы в системе, она в полной мере определяет также ее динамические свойства подобно временной характеристике и дифференциальным уравнениям.

Так как

;

то при подстановке этих выражений для производных в дифференциальное уравнение (2.1) для случая воздействия на нее гармонических колебаний  получим:

(3.5)

Из выражения (3.5) определяем АФХ системы:

(3.6)

При сравнении выражений (3.6) и (2.5) видно, для получения АФХ не нужно производить каких-либо математических преобразований, а достаточно в передаточной функции звена или системы заменить переменную .

Обозначив в соотношении (3.4)  и , получим:

                                     (3.7)

Зависимость отношения амплитуд выходных и входных колебаний от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).

.                            (3.8)

Амплитудно-частотная характеристика является модулем АФХ

.                      (3.9)

Зависимость разности фаз выходных и входных колебаний от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) системы

.                    (3.10)

Фазо-частотная характеристика является аргументом АФХ системы.

Поскольку

 - …;

 -…,

то, отделив полиномиальные составляющие действительной и мнимой частей, получим:

;

,

где  - …- действительная составляющая полинома
   ;

    -…- мнимая составляющая полинома ;

    -…- действительная составляющая полинома
  ;

    -…- мнимая составляющая полинома ;

С учетом этих зависимостей АЧХ системы выразится следующим образом

                            (3.11)

Амплитудно-фазовая характеристика

.        (3.12)

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на сопряженный множитель , получим:

.

Обозначив

; (3.13)

, (3.14)

имеем:

.                               (3.15)

Величина  называется вещественной частотной характеристикой системы.

Величина  называется мнимой частотной характеристикой системы.

Таким образом, получаем всего пять частотных характеристик:

·  амплитудно-фазовая ;

·  амплитудно-частотная (модуль АФХ) ;

·  фазо-частотная (аргумент АФХ) ;

·  мнимая частотная ;

·  вещественная (действительная) частотная .

Между этими характеристиками, кроме вышеприведенных зависимостей, имеются следующие очевидные связи:

;                         (3.16)

.                         (3.17)

Для инженерных расчетов находит широкое применение графическое изображение АФХ на комплексной плоскости в координатах . Такое графическое изображение называется годографом.

Годограф – это геометрическое место точек концов векторов, которое прочерчивает функция при получении приращения переменной в некотором заданном диапазоне частот .

Из выражения (3.13) следует, что вещественная частотная характеристика является четной функцией частоты, так как  входит как в числитель, так и в знаменатель только в четных степенях (  и т.д.), .

Из выражения (3.14) видно, мнимая частотная характеристика является нечетной функцией частоты, т.е. .

Таким образом, точки АФХ, соответствующие значениям  и , имеют одну и туже абсциссу  и равные по модулю, но разные по знаку ординаты .

Следовательно, АФХ симметрична относительно действительной оси, и поэтому достаточно построить ее для , т.к. другая ветвь характеристики для  является зеркальным отображением построенной части относительно действительной оси.

На АФХ наносятся частотные отметки и стрелками указывается направление возрастания частоты (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Годограф (АФХ) инерционного звена второго порядка

Частотные характеристики находят широкое применение в инженерной практике при анализе, синтезе, при расчете и проектировании АСР. Особым их достоинством является то, что они могут быть получены экспериментальным путем, что особенно важно для систем, аналитические уравнения которых не представляется возможным получить из-за сложности и молоизученности объекта с точки зрения математического описания технологического процесса.

Для примера на рис.3.10 приведен листинг Mathcad-программы расчета и построения графиков частотных характеристик АФХ и АЧХ для АФХ инерционного звена второго порядка с конкретными параметрами: