Пример исходных формул и данных при априорной оценке точности

Исходные данные. Выполняя априорную оценку точности, необходимо задать ошибки градиентометра, если измерения производятся с градиентометром на борту ИСЗ или ошибки измеряемых величин(координат, расстояний, скоростей и так далее), если измерения производят в системе «спутник-спутник». Мы их возьмем из проекта CNES/ESA GRADIO (инструмент А. Бернарда). Ошибки градиентометра в этом проекте составляют m_a=10^-2EV (Этвеш), а в системе СИ это будет (1EV=10^-9м/с²) m_a=10^-11мс^-2 для градиентометра.

Для системы «спутник-спутник» возьмем m_r»30mm, m_n»10^-5mm×c^-2. Гравитационный потенциал представим в виде:

, (5.84)

где , (5.85)

а r, j, l геоцентрические, сферические координаты пробной массы (спутник, пробная масса градиентометра и т.д.), m – гравитационная постоянная, r₀ – средний экваториальный радиус Земли и

– стоксовы постоянные. (5.86)

Возмущающую функцию R для дальнейших действий необходимо выразить через элементы орбиты. С этой целью воспользуемся каноническими элементами Делонэ: L, G, H, l, g, h.Элементы Делонэ связаны с кеплеровскимиэлементами a, e_k, i, t, w, W следующими формулами:

(5.87)

Обратные соотношения имеют вид:

(5.88)

Возмущающая функция, выражая через эти элементы, имеет вид:

,(5.89)

где d_mo – символы Кронера , , е – основание натурального логарифма, J_nm и l_nm – постоянные, связанные с классическими С_nm и S_nm формулами (5.86), , где – целочисленный вектор, а – вектор быстрых переменных и они имеют вид

, а . (5.90)

В свою очередь , где s – гринвичское звездное время. Функция от медленных переменных

(5.91)

, (5.92)

где

,а (5.93)

(5.94)

Так как для спутниковой градиентометрии используют близкруговые орбиты (e~0,01 – 0,001), то для целей оценки достаточно ограничиться членами пропорциональными , а эти коэффициенты могут быть получены с помощью гипергеометрического ряда.